мы можем с помощью повторных отражений преобразовать кривую XY данной длины / в новую замкнутую кривую длины 2я/, а предложенную задачу в новую задачу, решением которой в силу изопериметрической теоремы будет круг. Случаи, разобранные в § 5(1) и в настоящем параграфе, как раз являются в этой бесконечной последовательности первыми двумя случаями, соответствующими я=1 и 2.
Таким образом, если угол с вершиной в М имеет специальный вид (180°/я при целом я), то решением нашей задачи (рис. 10. 11) будет дуга окружности с центром в М. Естественно ожидать, что эта форма решения не зависит от величины угла (по крайней мере пока он не превышает 180°). Таким образом, мы делаем предположение, что решением задачи рис. 10. 11 независимо от того, имеет ли угол с вершиной в М специальный вид 180°/я или нет, является дуга окружности с центром в М. Это предположение есть индуктивное предположение, подкрепленное в бесконечном множестве случаев, я=1, 2, 3, доказательством. Верно ли это предположение?
Рассмотренное приложение изопериметрической теоремы и связанный с ним вопрос могут побудить нас ожидать много подобных же приложений и вопросов. Наш вывод теоремы поднимает дальнейшие вопросы; ее аналоги в пространственной геометрии и математической физике подсказывают новые вопросы. Изопериметрическая теорема, глубоко коренящаяся в нашем опыте и интуиции, которую так легко предположить, но не так легко доказать, служит неисчерпаемым источником вдохновения.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ X
Первая часть
1. Взгляд назад. В предыдущих параграфах (§§ 6 — 8) мы доказали изопе-риметрическую теорему — доказали ли? Проверим рассуждение шаг за шагом.
По-видимому, нет возражений против простого результата § 6(1). Однако при решении задачи в § 6(2) мы без доказательства допустили существование максимума; и это же мы сделали в § 7(1).
Не лишают ли силы наш результат эти недоказанные допущения?
2. Могли бы вы вывести какую-либо часть этого результата иначе? Непосредственно убедитесь в том, что верен простейший нетривиальный частный случай результата, найденного в §5(2), т. е. независимо от § 6(3) докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в круг, больше, чем площадь любого другого четырехугольника с такими же сторонами. [Пример 8. 41. ]
3. Заново с большими подробностями проведите рассуждение из § 7(2): постройте многоугольник с я + 1 сторонами, имеющий тот же периметр, что и правильный многоугольник с я сторонами, но большую площадь.
4. Докажите независимо от § 7(3), что круг имеет большую площадь, чем правильный многоугольник с тем же периметром.
5. Докажите более общее утверждение, что круг имеет большую площадь, чем многоугольник -с тем же периметром, в который можно вписать окружность.
6. Заново, с большими подробностями проведите рассуждение из § 7(5). Доказывает ли оно утверждение I § 8? Есть ли какое-нибудь возражение?
7. Можете ли вы воспользоваться этим методом для решения какой-нибудь другой задачи? Воспользуйтесь методом § 8, чтобы доказать, что равносильны следующие два утверждения:
.
Комментарий:
Автор :
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.