40. Фигура многих совершенств. Рассмотрим плоскую область, ограниченную некоторой кривой. Мы хотим обозреть некоторые из большого числа теорем, аналогичных изопериметрической теореме: Из всех областей с данной площадью наименьший периметр имеет круг.
Мы уже встречались с одной теоремой этого рода. В § 4 мы рассмотрели некоторые индуктивные доводы в пользу утверждения: Из всех мембран с данной площадью наиболее низкий основной тон издает круглая мембрана.
Рассмотрим теперь область как однородную пластинку постоянной толщины. Рассмотрим момент инерции этой пластинки относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через ее центр тяжести. Этот момент инерции, который мы назовем «полярным моментом инерции», зависит при прочих равных условиях от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьший полярный момент имеет круглая пластинка.
Эта пластинка, если она является проводником электричества, может также вместить электрический заряд, пропорциональный ее электростатической емкости. Емкость также зависит от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьшую емкость имеет круглая пластинка.
Пусть теперь область является поперечным сечением однородного упругого бруса. Если мы попытаемся закрутить такой брус вокруг его оси, то сможем заметить, что он сопротивляется скручиванию. Это сопротивление, или «жесткость на кручение», бруса зависит при прочих равных условиях от размера и формы поперечного сечения. Из всех поперечных сечений с данной площадью наибольшую «жесткость па кручение» имеет круглое поперечное сечение1).
Почему круг является решением такого большого числа таких различных задач на максимум и минимум? В чем «причина»? Не является ли «истинной причиной» «совершенная симметрия» круга? Такие туманные вопросы могут быть стимулирующими и плодотворными, если только вы не просто с удовольствием занимаетесь туманными разговорами и размышлениями, но серьезно пытаетесь спуститься к чему-нибудь более точному или более конкретному.
41. Аналогичный случай. Не видите ли вы аналогии между изопериметрической теоремой и теоремой о средних? (См. § 8. 6)
Длина замкнутой кривой одинаково зависит от каждой точки, или от каждого элемента этой кривой. И площадь области, ограниченной кривой, также одинаково зависит от каждой точки, или элемента этой кривой. Мы разыскиваем максимум площади, когда длина задана. Поскольку обе рассматриваемые величины имеют такую природу, что никакая точка кривой не играет в их определении предпочтительной роли, мы не должны удивляться, что решением является единственная такая кривая, которая содержит каждую из своих точек одинаковым образом и любые' два элемента которой наложимы один на другой: окружность.
Сумма хх + х2 + .
. . + хп есть симметрическая функция переменных хх,
х2. . . . . хп, т. е. она одинаково зависит от каждой переменной. И произведение
Х\Х2 . . . хп одинаково зависит от каждой переменной. Мы разыскиваем максимум произведения, когда сумма задана. Поскольку обе рассматриваемые величины являются симметричными относительно п переменных, мы не должны удивляться, что решение требует, чтобы хх = х2 = . . . = хп.
Существуют, кроме площади и длины, и другие величины, зависящие от размеров и формы замкнутой кривой, которые «одинаково зависят от каждого элемента кривой»; несколько таких величин^'мы перечислили в примере 40. Мы разыскиваем максимум величины этого "рода, когда другая величина этого же рода задана. Является ли решение, если оно существует, обязательно окружностью?
М Доказательства указанных и аналогичных теорем см. в книге Г. П о л и а и Г. С е г е, Изопериметрические неравенства в математической физике, М. ,
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :