полагаем
У + г 2 '
Zl + *1
2 '
Х2+У2 2 '
_Уз + г3
|
|
— X,
|
Уг = гг:
|
|
У-2
|
=Уи
|
х^г2
|
|
*3
|
— г2,
|
|
|
л"4
|
— хз,
|
л»4 = г4
|
Каждый шаг не изменяет сумму, но увеличивает произведение:
х4-у+г = х1+у1 + г1 = х2+у2 + г2 = . . . ,
хуг < ххухгх < X2. V2Z2 < • • •
Допустим, что )|^г и что хх ф г,. (Это не исключительный случай; в исключительном случае мы придем к нашему результату значительно легче. ) Естественно ожидать, что, когда п возрастает, три числа хп, уп и гп будут все меньше и меньше отличаться одно от другого. Если мы сумеем доказать, что в конце концов
lim х„= lim уп= lim гп,
п—>оо л—*-со п—>со
то немедленно сможем заключить, что
хуг< lim хп у„г„ = (г/3)3.
/1 ->со
Мы получаем, таким образом, этот результат с большой затратой сил, но не предполагая заранее существования максимума. Докажите, что lim хп= lim уп= lim г„.
п—> оо /г оо /г —> оо
25.
Другое видоизменение схемы частного изменения: конечный процесс. Вновь рассмотрим пример 24, но воспользуемся теперь более сложным видоизменением метода § 5.
Пусть / = ЗЛ; таким образом, А есть среднее арифметическое чисел х, у и г, и мы имеем
(х-А) + (у-А) + (г~А)=0.
Может случиться, что х=у~г. Если же это не так, то одна из разностей в левой части нашего равенства должна быть отрицательной, а другая положительной. Выберем обозначения так, чтобы
у < А < г.
Перейдем от системы (х, у, г) к системе (х', у', г'), полагая
х' = х, у' —А, г'=уф(г — А); первую величину мы оставили неизменной. Тогда
* + У + 2 = х' + У' + г'
и
у'г'—уг = А (уФг-А)-уг = (А-у) (z —Л)>0,
так что
хуг < х'у'г'.
Может случиться, что х' =у' — г'. Если это не так, то перейдем от (х',у', г') к (х", у", г"), полагая
v v"_z фх
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :