2. Механическая интерпретация
165
как и там, нам нужно найти минимум суммы АХ-\-ВХ расстояний одной переменной точки от двух фиксированных точек. Различие состоит в том, что здесь X обязана двигаться по окружности (радиуса г с центром в С), а там — по прямой. Предыдущая задача относилась к отражению в плоском зеркале, а эта задача относится к отражению в круглом зеркале.
Доверимся свету: у него хватит способностей найти кратчайший путь от А к круглому зеркалу, а от него к В. Но свет распространяется так, что угол падения равен углу отражения. Следовательно, в искомом положении минимума £_ АХВ должен делишься пополам прямой, проходящей через С и X (см. рис. 9. 4). В силу принципа частного изменения и симметрии условий /_ АХС и /_ ВХС также должны делиться пополам соответствующими прямыми. Три прямые,
а в
Рис. 9. 4. Транспортный Рис. 9.
5. Транспортный
центр и круглое зеркало. центр.
соединяющие X с А, В и С, разбивают плоскость на шесть углов, общей вершиной которых является X. Внимательно рассматривая пары вертикальных углов на рис. 9. 5, легко видим, что все шесть углов равны и потому каждый из них равен 60°. Три дороги, расходящиеся из транспортного центра, одинаково наклонены одна к другой; угол между любыми двумя дорогами равен 120°.
(Если мы вспомним, что метод частного изменения, которым мы воспользовались, подчиняется некоторым ограничениям, то можем найти желательным критический пересмотр нашего решения. )
2. Механическая интерпретация. Математические задачи и их решения могут быть подсказаны любым сектором нашего опыта, оптическими, механическими или какими-нибудь другими явлениями. Посмотрим теперь, как простые механические принципу иногда помогают нам найти решение.
(1) Нить, оба конца которой закреплены, продета сквозь тяжелое кольцо. Найти положение равновесия.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :