треугольников, ограничена п свободными ребрами длин соответственно alt . . . . . . ,апя имеет п двугранных углов, которые еще могут изменяться. (Мы предполагаем,что п > 3. )
Что вы можете делать с этой многогранной поверхностью, чтобы решить предложенную задачу?
27. Бросается кость. ' Масса внутри тяжелого жесткого выпуклого многогранника может быть распределена неравномерно. Фактически мы можем представить себе подходящее неоднородное распределение массы, центр тяжести которой совпадает с произвольно указанной внутренней точкой многогранника. Если бросить многогранник на горизонтальный пол, то он остановится на одной из своих граней. Это дает механический довод для следующего геометрического предложения.
Если дан выпуклый многогранник Р и некоторая точка С внутри Р, то мы можем найти грань F многогранника Р, обладающую следующим ■ свойством: основание перпендикуляра, опущенного из С на плоскость грани F, есть внутренняя точка F.
Найдите геометрическое доказательство этого предложения. (Заметьте, что грань F может, но не обязана, однозначно определяться сформулированным свойством. )
28. Всемирный потоп. На контурной карте существует три типа замечательных точек: вершины, перевалы (или седловые точки с горизонтальной касательной плоскостью) и «котловины» (на рис.
8. 7 В—вершина, П — перевал). «Котловина» — наиболее глубокая точка в дне долины, из которой вода не находит никакого стока. Котловина есть «перевернутая» вершина: рассмотрите на контурной карте любую линию уровня высоты ft над уровнем моря как если бы она имела над уровнем моря высоту — ft. Тогда карта «перевернута»; она становится картой ландшафта под морем, вершины становятся котловинами, котловины становятся вершинами, но перевалы остаются перевалами. Существует замечательная связь между этими тремя типами точек.
Допустим, что на острове имеется В вершин, К котловин и П перевалов. Тогда
В+ К= П+\.
Чтобы интуитивно вывести эту теорему, вообразим, что неперестающий дождь заставил озеро, окружающее остров, подниматься до тех пор, пока, наконец, весь остров не был затоплен. Мы можем считать, что все В вершин имеют одинаковую высоту и что все К котловин находятся на уровне озера или ниже его. В самом деле, мы можем вообразить, что вершины поднялись, а котловины понизились, но их число не изменилось. Когда дождь начинает идти, в котловинах собирается вода; вначале мы имеем, считая окружающее остров озеро,
К + 1 озер и 1 остров.
Непосредственно перед тем как остров скроется под водой, из-под воды выступают только вершины, и, таким образом, в конце мы имеем
1 озеро и В островов.
Как происходил переход?
Вообразим, что в какой-то момент на одной и той же высоте находится несколько озер. Если нет никаких находящихся на этой высоте перевалов, то вода может еще немного подняться, не меняя числа озер или числа островов. Когда, однако, поднимающаяся вода как раз достигнет перевала, малейший последующий подъем ее уровня или объединит два прежде отделенных озера, или изолирует участок земли. Поэтому каждый перевал или на одну единицу уменьшает число озер, или на одну единицу увеличивает число островов. Рассматривая полное изменение, получаем
(К + 1 - 1)+ (В- 1) = Я; в этом и состоит наша теорема.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :