Мы видим, что вдоль пути света
sin а
: const. (2)
Пусть Р —угол, образованный касательной к кривой с горизонталью. Тогда
а + (5 = 90°, tg(5 = -g- = /
и значит
sina = cosP = (l +/2)-1/2. (3)
Сопоставим равенства (1), (2) и (3) (выведенные соответственно из механики, оптики и дифференциального исчисления), введем подходящее обозначение для постоянной, входящей в (2), и в результате получим
у (1+/2) = С,
где с — положительная постоянная. Мы получили для брахистохроны дифференциальное уравнение первого порядка. Отыскание кривых, удовлетворяющих такому уравнению, было задачей, известной Бернулли. Нам нет необходимости входить здесь в детали (см. , тем не менее, пример 31): брахистохрона, определенная этим дифференциальным уравнением, оказалась циклоидой. (Циклоида описывается точкой окружности, катящейся по прямой линии; в нашем случае эта прямая — ось х, и окружность катится по оси х снизу. )
Отметим, однако, что интуитивно, не прибегая к формулам, мы можем видеть, что закон Снеллиуса приводит к дифференциальному уравнению. Действительно, этот закон определяет направление последовательных элементов пути,, изображенных на рис. 9. 12, и в точности то же самое делает дифференциальное уравнение.
Решение Иоганна Бернулли задачи о брахистохроне, которое мы здесь разобрали, имеет своеобразную художественную прелесть. Рассматривая рис.
9. 11 или рис. 9. 12, мы можем наглядно видеть ключевую идею решения. Если мы можем видеть эту идею ясно, без усилий, сознавая, что она за собой влечет, то мы можем заметить, что перед нами настоящее произведение искусства.
Ключевой идеей решения Иоганна Бернулли является, конечно, новая интерпретация. Геометрический чертеж (рис. 9. 11 или 9. 12) последовательно понимается в двух различных интерпретациях, он рассматривается в двух различных «контекстах»: сначала в механическом контексте, затем в оптическом контексте. Не всякое ли открытие состоит в неожиданном соприкосновении и последующей интерпретации двух различных контекстов?
5. Открытие Архимедом интегрального исчисления. Так уж случилось, что одно из величайших математических открытий всех времен
.
Комментарий:
Автор :
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.
Автор :