также принцип рычага и главные свойства центра тяжести, которые нам "вскоре понадобятся.
Теперь мы подготовлены к обсуждению наиболее эффектного примера из работы Архимеда; мы хотим его методом найти объем шара. Архимед рассматривает шар как тело, образованное вращающейся окружностью, а окружность он рассматривает как геометрическое место точек, характеризуемое соотношением между расстояниями переменной точки от двух фиксированных взаимно перпендикулярных осей отсчета. Записанное в современных обозначениях, это соотношение имеет вид
х2 -\-у2=2ах
— уравнение окружности радиуса а, касающейся оси у в начале координат. См. рис. 9. 13, который лишь слегка отличается от оригинального чертежа Архимеда; эта окружность, вращаясь вокруг оси х, образует шар. Я думаю, что применение современных обозначений не нарушает идеи Архимеда. Наоборот, мне кажется, что эти обозначения заставляют думать. Они подсказывают мотивы, которые могут привести пас сегодня к идее Архимеда и которые, быть может, не слишком отличаются от мотивов, которые привели самого Архимеда к его открытию.
В уравнении окружности имеется член у2. Заметим, что лу2 есть площадь переменного поперечного сечения шара. Однако Демокрит нашел объем конуса, исследуя
изменение его поперечного сечения. Это приводит нас к мысли переписать уравнение окружности в виде
лх2 -\- лу2 — л2ах.
Теперь мы можем лх2 интерпретировать как переменное поперечное сечение конуса, образованного вращением прямой у = х вокруг оси х; см. рис. 9. 13. Это наталкивает на мысль отыскать аналогичную интерпретацию для остающегося члена л2ах. Если мы не видим такой интерпретации, то можем попытаться переписать уравнение еще и в других формах, и, таким образом, может случиться, что нам придет в голову записать его в виде
2а(лу2-т-лх2) = хл{2а)2. (А)
Многое сосредоточено в этом уравнении (А). Разглядывая уравнение (А), отмечая различные входящие в него длины и площади
Рис. 9. 13. Рождение интегрального исчисления.
.
Комментарий:
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.
Автор Levan:
Я не создан для этого мира, где стоит только выйти из дому, как попадаешь в сплошное дерьмо.
Автор :