(1) Две фигуры называются «изопериметрическими», если их периметры равны. «Из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг» — вот традиционная редакция формулировки I, которая объясняет название «изопериметрическая теорема».
(2) Мы можем называть эти две формулировки теоремы (I и II) «сопряженными формулировками» (см. § 8. 6). Мы докажем, что эти два сопряженных утверждения равносильны одно другому, показав, что оба они равносильны одному и тому же третьему.
(3) Пусть А обозначает площадь, а I—длину периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и круг радиуса г являются изопериметрическими: L = 2nr. Тогда первая форма изопериметрической теоремы (формулировка I) утверждает, что
A =sc яг2. •
Подставляя вместо г его выражение через I, г = 1/2я, легко преобразуем неравенство:
4лЛ ^, 1
Назовем это неравенство изопериметрическим неравенством, а частное в левой части — изопериметрическим частным. Это частное зависит только от формы фигуры и не зависит от ее размеров. Действительно, если, не изменяя формы, мы увеличим линейные размеры фигуры в отношении 1:2, то периметр станет равен 2L, а площадь 4А, но частное A/L2 останется неизменным, и это же верно для 4nA/L2 и для увеличения в любом отношении. Некоторые авторы называют изопериметрическим частным A/L2; мы ввели множитель 4я, чтобы сделать наше изопериметрическое частное в случае круга равным 1. В этой терминологии мы можем, сказать:
III. Из всех плоских фигур наибольшее изопериметрическое частное имеет круг1).
Это третья форма изопериметрической теоремы.
(4) Мы пришли к третьей форме теоремы, отправляясь от фигур с равным периметром. Теперь начнем с утверждения III и перейдем к фигурам с равной площадью. Допустим, что фигура с площадью А и периметром L имеет ту же площадь, что и круг радиуса г, т. е. Л = яг2. Подставляя вместо А это выражение, легко преобразовать изопериметрическое неравенство в L ^ 2яг. Это означает, что периметр этой фигуры больше, чем периметр круга с равной площадью. Мы пришли ко второй сопряженной форме теоремы, к утверждению П.
(5) Мы могли бы, конечно, провести это рассуждение в обратном направлении и, переходя через III, из II вывести I. И, таким образом, мы можем убедиться, что все три формы равносильны.
1) Записывая вместо «изопериметрическое частное» сокращенно И. Ч. , мы могли бы сказать, что круг имеет наибольшее И. Ч.
.
Комментарий:
Автор Аида:
Скорбь безгранична, радость имеет пределы.
Автор :
Автор :