(a) Допустите теперь, что на всем земном шаре имеется В вершин, К котловин и П перевалов (некоторые из них под водой), и покажите, что
В+ К= П+ 2.
(b) Последнее соотношение напоминает нам теорему Эйлера (см. §§3. 1 — 3. 7 и примеры 3. 1 —3. 9). Могли бы вы воспользоваться теоремой Эйлера для построения геометрического доказательства результата, только что полученного с помощью интуитивных соображений? [Рис. 9. 16 и 9. 17 показывают важные куски более полной карты, на которой указано не только несколько линий уровня, но и несколько «линий наиболее крутого спуска», перпендикулярных к линиям уровня. Эти два типа линий разбивают поверхность земли на треугольники и четырехугольники. Ср. пример 3. 2. ]
ШЗНО
Рис. 9. 16. Окрестность вершины.
ШЗНО
Рис.
9. 17. Окрестность перевала.
(с) Имеются ли какие-нибудь замечания по поводу метода?
29. Не слишком глубоко1). Чтобы найти глубину колодца d, выбросаете в колодец камень и измеряете время t от момента бросания камня до момента, когда вы услышите, что камень ударился о воду.
(a) Даны ускорение силы тяжести g и скорость звука с. Выразите d через g, cat (пренебрегая сопротивлением воздуха).
(b) Если колодец не слишком глубок, то скорость камня даже в момент падения будет составлять малую долю скорости звука, и, таким образом, мы можем ожидать, что значительно большая часть измеренного времени t уйдет на падение камня. Поэтому следует ожидать, что
d = gt2/2 — поправка,
где поправка относительно мала, когда t мало.
Чтобы проверить эту догадку, разложите выражение, полученное в качестве ответа в (а), по степеням t и сохраните первые два не равных нулю члена.
(c) Что в этом примере вы рассматривали бы как типичное?
30. Полезный крайний случай. Эллипс, вращающийся вокруг своей большой оси, описывает так называемый вытянутый сфероид, или яйцевидный эллипсоид вращения. Фокусы вращающегося эллипса не вращаются: они находятся на оси вращения и также называются фокусами вытянутого сфероида. Мы могли бы изготовить эллиптическое зеркало, покрыв внутреннюю, вогнутую сторону этой поверхности полированным металлом; все лучи, приходящие из одного фокуса, отражаются таким эллиптическим зеркалом в другой фокус; ср. § 1 (3). Эллип-
х) В оригинале «Not so deep as a welb. — Прим. nepee.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Владлена:
Человек по природе добр.