что многоугольник А'М'В'С . . . K'L' не может быть вписан вкруг; в противном случае А'В'С . . . K'L' также можно было бы вписать в круг, что неверно. Я утверждаю, что оба многоугольника М'В'С . . . J' и М' A'L'K' . . . J' нельзя вписать в полукруг с диаметром M'J'\ в противном случае весь многоугольник А'М'В'С . . . K'L' можно было бы вписать в круг, что неверно. Поэтому слова «не меньше», дважды употребленные при выводе рассматриваемого неравенства, по крайней мере один раз можно заменить словом «больше»)1).
7. Очень близко. Следствия, которые нам удалось подтвердить, делают изопериметрическую теорему чрезвычайно правдоподобной. Больше того, у нас, возможно, появилось чувство, что эти следствия «многое содержат», что мы «очень близки» к окончательному решению, к полному доказательству.
(1) Найти многоугольник с данным числом сторон и данным периметром, имеющий наибольшую площадь.
Если такой многоугольник существует, то он должен быть вписанным в круг. Эго мы можем непосредственно заключить из нашего последнего замечания, § 6 (3).
С другой стороны, рассмотрим задачу как почти решенную.
Допустим, что мы уже знаем правильные положения всех вершин, за исключением одной, скажем X. Другие п — 1 вершин, скажем U,. . . , W, Y и Z, уже фиксированы. Весь многоугольник U. . . WXYZ состоит из двух частей: многоугольника U . . . WYZ с я—1 уже фиксированными вершинами, который не зависит от X, и Д WXY, зависящего от X. У этого треугольника, Д WXY, мы знаем основание WY и сумму двух других сторон WXArXY; в самом деле, остающиеся я — 2 стороны многоугольника предполагаются известными, а мы в действительности знаем сумму всех я сторон. Площадь Д WXY должна быть наибольшей. Однако почти очевидно, что площадь Д WXY с известным основанием и периметром достигает своего максимума, когда треугольник является равнобедренным (пример 8. 8). Таким образом, WX=XY, две смежные стороны искомого многоугольника равны. Поэтому (в силу симметрии условий и схемы частного изменения) любые две смежные стороны равны. Все стороны равны: искомый многоугольник является равносторонним.
Искомый многоугольник, вписанный в круг, а также равносторонний, необходимо является правильным: Из всех многоугольников с данным числом сторон и данным периметром наибольшую площадь имеет правильный многоугольник.
(2) Два правильных многоугольника, один с п, а другой с п -f- 1 сторонами, имеют один и тот же периметр. Какой имеет большую площадь?
х) Теоремы и доказательства этого параграфа принадлежат Люильеру, см. примечание на стр. 157. 7* -
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :