29. Установите хорошо известное (выражающееся через частные производные) необходимое условие для максимального или минимального значения функции / (х, у) при краевом (или дополнительном) условии, что хну связаны уравнением g(x, у)=0. Объясните связь со схемой касательной линии уровня.
30. Вновь исследуйте случаи, упомянутые в примере 12 в свете условия примера 29. Есть ли какое-нибудь противоречие?
31. Установите хорошо известное необходимое условие для максимального или минимального значения функции / (х, у, г) при краевом условии g{x, у, г) = 0. Объясните связь со схемой касательной поверхности уровня.
32. Установите хорошо известное необходимое условие для максимального или минимального значения функции f (х, у, г) при двух одновременно выполняющихся краевых условиях g(x, у, z) = 0 и h (х, у, г) = 0. Объясните связь со схемой касательной поверхности уровня.
Вторая часть
Употребляемые ниже терминология и обозначения, объяснены в примере 33, который следует прочитать вначале.
33. Многоугольники и многогранники. Площадь и периметр. Объем и поверхность. Для многоугольников мы по большей части будем пользоваться следующими обозначениями:
А — площадь и L — длина периметра. Для многогранников мы примем: V — объем и
S — площадь поверхности.
Мы будем рассматривать задачи на максимум и минимум, относящиеся к А и L или к V и S. Такие задачи были известны древним грекам1).
Мы рассмотрим, главным образом, задачи, которыми занимались Симон Люилье и Якоб Штейнер а). При решении большинства нижеследующих задач окажутся полезными элементарные алгебраические неравенства, особенно теорема о средних (§ 6).
Эти задачи по большей части относятся только к простейшим многоугольникам (треугольникам и четырехугольникам) и к простейшим многогранникам (призмам и пирамидам). Нам нужно усвоить несколько менее обычных терминов.
Две пирамиды, расположенные по разные стороны от их общего основания, вместе образуют двойную пирамиду. Если основание имеет п сторон, то двойная пирамида имеет 2п граней, // + 2 вершины и За ребер. Основание не является гранью двойной пирамиды.
Если все боковые грани призмы перпендикулярны основанию, то мы называем эту призму прямой призмой.
Если основание пирамиды описано около круга и высота пересекается с основанием в центре этого круга, то мы называем эту пирамиду прямой пирамидой.
Если две пирамиды, образующие двойную пирамиду, являются прямыми пирамидами и симметричны относительно их общего основания, то мы называем эту двойную пирамиду прямой двойной пирамидой.
Если призма, пирамида или двойная пирамида не являются «прямыми», то мы называем их «наклонными». Среди пяти правильных многогранников имеется ровно одна призма, ровно одна пирамида и ровно одна двойная
!) Pappus, Collectiones, 5.
2) Simon Lhuilier, Poligonometrie et Abrege d'Isoperimetrie elemen-taire, Geneve, 1789. Steiner J. , Gesammelte Werke, Vol. 2, p. 177—308.
.
Комментарий:
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :
Автор Майда:
Боже, не дай мне только написать книгу о книгах!