Неравенство Е > Р подтверждается. Это подтверждение нашего предположения идет с новой стороны, из другого источника, и потому имеет некоторый вес. Отметим также, что
Относительная погрешность приблизительно равна 1,5%. Она значительно больше, чем начальный член ее разложения, но имеет тот же знак. Поскольку е = 4/5 = 0,8 не слишком мало, наше замечание годится для всей картины и ведет к увеличению нашей веры в предположение.
Приближенные формулы играют в прикладной математике важную роль. Пытаясь оценить такую формулу, мы часто на практике применяем процедуру, которой следовали в этом параграфе. Мы вычисляем начальный член разложения относительной погрешности и дополняем полученную таким путем информацию численными проверками, рассмотрениями по аналогии и т. д. , короче, индуктивными, недоказательными рассуждениями.
3. Пределы. Для того чтобы увидеть индуктивное рассуждение в действии еще и в другой области, рассмотрим следующую задачу *).
Пусть аь о2, . . . , ап — произвольная последовательность поло~ жительных чисел. Показать, что
Эта задача требует некоторых предварительных знаний, особенно знакомства с понятием «limsup», или «верхнего предела последовательности» 2). Однако, если даже вы полностью знакомы с этим понятием, вы можете испытать некоторые трудности в нахождении доказательства.
Я приношу свои поздравления любому студенту, который сможет в несколько часов без посторонней помощи решить эту задачу.
Если вы сами хоть немного побились над этой задачей, то вы сможете с большим участием переживать борьбу, описанную в следующих параграфах.
4. Попытка опровергнуть. Начинаем с обычных вопросов. В чем состоит посылка? Только в том, что а„>-0, ни в чем другом.
1) См. Putnam, 1948.
2) См. , например, X арди Г. X. , Курс чистой математики, М. , 1949, § 82, (Число / называется верхним пределом последовательности хп, если для любых чисел р и q таких, что р < / < q, найдется бесконечное множество номеров п. Для которых хп > р, и лишь конечное число номеров п, для которых хп> > д. — Прим. перев. )
(Р - £)/£ = — 0,0155, - е4/64 = — 0,0064.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :