Разные примеры индукции

Результат поразителен. Любой отличный от нуля коэффициент имеет или значение 1, или значение —1. Последовательность коэффициентов, по-видимому, обнаруживает некоторую закономерность, которая станет более очевидной, если мы вычислим еще несколько членов:

--1—-^1Л__Х-Х³-Х* + Х^в + Х⁷-Х*-Х¹⁰ + Х¹² + Х¹³-. . .

1 — х + х- ^{1 11 11}

Периодичность! Последовательность коэффициентов оказывается периодической с периодом 6:

1, 1, 0, —1, —1, 0| 1, \, О, —1, —1, 0| 1, 1, . . .

Мы, естественно, ожидаем, что наблюдаемая периодичность продолжится и за пределами наших наблюдений. Но это — индуктивное заключение, или всего лишь догадка, к которой нам следовало бы отнестись с должным недоверием. Эта догадка, однако, основана на фактах и поэтому заслуживает серьезного исследования. Исследовать ее, помимо всего прочего, значит выразить ее по-другому. Существует интересный способ выразить иначе наше предположение:

—^Х—- = 1 -х³ + х^в-х⁹ + х^и~. . . 1 — х + х^{2 1 1}

+ X - ЛГ⁴ 4- X⁷ - X¹⁰ + X¹³ -. . .

Теперь мы легко можем заметить в правой части равенства две геометрические прогрессии с одним и тем же знаменателем —х³, суммы которых мы можем найти. И, таким образом, предположение сводится к равенству

1 _ 1 . х _ \+х

1— х + х² ~ \+х³ ~~ '

которое, конечно, верно. Мы доказали наше предположение.

Наш пример, несмотря на свою простоту, во многих отношениях типичен. Если нам нужно разложить данную функцию, мы часто можем без большого труда получить первые несколько коэффициентов. Рассматривая эти коэффициенты, мы должны попытаться, как мы здесь и сделали, угадать закон, управляющий разложением. Угадав закон, мы должны попытаться, как мы здесь и сделали, его доказать. Может оказаться очень выгодным, как это здесь и оказалось, провести доказательство в обратном направлении, исходя из подходящей ясной формулировки предположения. ■

Между прочим, наш пример является весьма благодарным (что также тигшчно). Он приводит к любопытному соотношению между биномиальными коэффициентами.

Не лишне будет добавить, что задача разложения данной функции в ряд возникает в различных областях математики. См. следующий параграф, а также примеры и примечания к гл. VI.

.

 

Комментарий:

Автор :

Автор :

Автор :

Ваше имя:

Комментарий: