Разные примеры индукции

то эта же величина s может быть выражена и следующим образом _s = 1 - х - х² + л-⁵ + х¹ - х¹² - л-¹⁵ + л-²² + х²⁶ - л-³⁵ - Л'⁴⁰ +. . .

Ибо каждый из нас может в этой истине убедиться, производя перемножение сколь угодно большого числа множителей, и кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих членов.

10. Поскольку мы таким образом обнаружили, что эти два бесконечных выражения равны, хотя и оказалось невозможным это доказать, все заключения, которые могут быть из этого выведены, будут той же природы, т. е. будут верны, но не доказаны. Или если . бы одно из этих заключений можно было доказать, ю, наоборот, можно было бы получить ключ к доказа1ельсгву этого равенства; и именно с таким намерением я различными способами манипулировал этими двумя выражениями и, таким путем, среди других открытий пришел к тому, которое я объяснил выше; его справедливость должна быть поэтому столь же несомненной, как и справедливость равенства между этими двумя бесконечными выражениями. Я поступил следующим образом. Пусть дано, что два выражения

I. S = (l -X)(l ~Х²){\ -Х^Л)(\ -Х*){\ -Л-⁵)(1 -Л'^й)(1 - А"⁷). . . , II. S= 1 -Х-Х² + Х^& + Х⁷-Х¹²-+ X²³ + X²¹'- X^х - Х*° .
. .

равны. Я избавился от множителей в первом, взяв логарифмы:

lns = ln(l -х) + 1и(1 _. v²)-f-ln(l -л-³) + 1п(1 -л⁴)-!-. . .

Чтобы избавиться от логарифмов, я дифференцирую и получаю равенство

J_ ds___1___2х__ _ Зя-а _ \х- _ 5xⁱ __

s йх 1-Х' 1— х² 1—л:³ 1-х⁴ 1 — х^. ~~' " '

или

_ _£ ds _ _х__, 2х'² Зхз 4_xi 5х⁵

s dx ~ 1 — х "Т" 1-х³ * 1— х³ ' 1— х¹ ' 1— х^ь ' ' "

Из второго выражения для s в виде бесконечного ряда получаем другое значение той же самой величины:

__ Л ^1 — х-\-2х'* — 5x^s — 7x1+ 12х¹² + 15*¹'¹ — 22х²* — 26х^2е + ,. .

S dx 1— X — Х²+Х^ + х7 — X¹² — Л^ + лЯ + Х²⁶ — . . .

11. Положим

_ х ds_^

s dx

.

 

Комментарий:

Автор Ruslan:
Книга жизнеспособна лишь в том случае, если дух ее устремлен в будущее.

Автор Jerik:
Не получить вовсе - не страшно, но лишиться полученного обидно.

Автор :

Ваше имя:

Комментарий: