ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Перемножая ряды
(1-^)-1/2 = 1 + ^2+1. 1^ + . . . ;
х , 1 х3 , 1 3 л-5 ,
агСЯПдС = т+ __+___ + . . . ,
вы найдете первые члены разложения
у = (\ — х2)— 1//2arcsin *3 + . . .
о
(a) Вычислите еще несколько членов и попытайтесь догадаться, каков общий член.
(b) Покажите, что у удовлетворяет дифференциальному уравнению
(1— х2)у' — ху= 1,
и воспользуйтесь этим уравнением, чтобы доказать вашу догадку.
2. Перемножая ряды
2 1 2-4 rf Т_У~3" + 2-45
о
вы найдете первые члены разложения
у = е^2
(a) Вычислите еще несколько членов и попытайтесь догадаться, каков общий член.
(b) Ваша догадка, если она правильна, наводит на мысль, что у удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Установив это уравнение, докажите вашу догадку.
3. Функциональное уравнение
1 + х' \ 1 + х удовлетворяется степенным рядом
г / \ , , 1 „ , 9 , . 25 . , 1225 я , /(*) = 1 + Т^"+Г4л4+Й6 хЬ+16384
Проверьте эти коэффициенты, определите, если необходимо, еще несколько и попытайтесь догадаться, каков общий член. 4. Функциональное уравнение
/ (*) = 1 + J Ш (*))8 + 3/ (х) } (х2) +2/ (*)]
удовлетворяется степенным рядом
f(x) = l+x+x* + 2x3-{-4xi-r-. . . -T-anxn-T-. . .
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :