Мы имеем выше два выражения для величины t. В первом выражении я разлагаю каждый член в геометрическую прогрессию и получаю
t = x+ л-2+ Л"3+ Х5+ X6-f Л"7+ х84-
+ 2л-2 +2л-4 +2л-« +2л-8 +
+ Зх3 + Зх6 +
+ 4х4 +4х8 +
4-5х5 4-
4-бх6 4-
4-7х7 4-4-8х84-
Мы легко здесь находим, что каждая степень х встречается столько раз, сколько ее показатель имеет делителей, и что каждый делитель появляется в качестве коэффициента при той же самой степени х. Следовательно, если мы соберем члены с одинаковыми степенями, то коэффициенты при каждой степени х будут суммой делителей показателя степени. И, следовательно, пользуясь введенным выше обозначением о(я) для суммы делителей числа п, я получаю
^ = а(1)х4-а(2)л-24-а(3)дг34-а(4) х* + о(Ь)хъ + . . .
Закон ряда очевиден. И хотя может показаться, что в определении коэффициентов участвовала индукция, мы легко можем убедиться, что этот закон является неизбежным следствием.
12. В силу определения t последняя формула п. 10 может быть записана следующим образом:
t (1 _ х - х°- 4- х5 4- х1 - х12 - х15 4- х22 + х2е-. . . )-
— х- 2х2 4- 5х5 4- 7х7 - 12х12 - 15х15 4- 22х22 4- 26л:26 - . . . = 0.
Подставляя вместо t значение, полученное в конце п. 11, находим
0 = 0 (1) х 4- а (2) л-3 4- а (3) x:i -\- а (4) х4 -\- а (5) хъ 4- ст (6) х6 4-. .
. . — х — а (1) х2 - о (2) л-3 - а (3) х4 — а (4) хъ - а (5) х8 -. . .
- 2х2 - а (1) х3 - а (2) х4 - а (3) х5 - а (4) х6 -. . .
4-5х54-а(1)хв4-. . .
Приводя подобные члены, находим коэффициент при любой данной степени х. Этот коэффициент состоит из нескольких членов. Сначала появляется сумма делителей показателя степени х, а затем суммы делителей некоторых меньших чисел, полученных из этого показателя степени вычитанием последовательно 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, . . . -Наконец, если показатель степени принадлежит к этой последовательности, то появляется он сам. Нет необходимости еще раз
.
Комментарий:
Автор :
Автор Измаил:
Магнитная стрелка, непреодолимо влекомая к северу, подобна мужу, который блюдёт законы.
Автор Antip:
Начало есть половина всего.