где С — постоянная, не зависящая от п, если только n^N. Это совсем не важно, но на самом деле
Важно, однако, что п может быть произвольно велико и что гармо^ нический ряд расходится. Поэтому отсюда следует, что
Но это решительно противоречит предположению, что а„>0 для и=1, 2, 3, . . . Тем не менее это противоречие безукоризненно следует из формулы (?). Поэтому, действительно, источником противоречия является формула (?); формула (?) несовместима с посылкой ап > 0; противоположное утверждение к (?) должно быть верно — теорема доказана!
6. Роль индуктивной фазы. Поверхностно просматривая предыдущее доказательство, мы могли бы подумать, что первая, индуктивная фаза решения (§ 4) вообще не применяется во второй, доказательной фазе (§ 5). Однако это не так. Индуктивная фаза была полезна в нескольких отношениях.
Во-первых, исследуя конкретные частные случаи теоремы, мы до конца ее поняли и осознали ее полное значение. Мы убедились, что ее посылка существенна, ее заключение точно.
Это знание было полезно во второй фазе: мы знали, что должны воспользоваться всей посылкой и принять в расчет точное значение постоянной.
Во-вторых, убедившись в том, что теорема верна в нескольких частных случаях, мы приобрели сильные индуктивные доводы в ее пользу. Индуктивная фаза преодолела наше первоначальное сомнение и дала нам сильную уверенность в теореме. Без такой уверенности мы едва ли нашли бы мужество предпринять доказательство, которое вовсе не выглядело привычным делом. «Когда вы убедитесь, что теорема верна, вы начинаете ее доказывать» — традиционный профессор математики совершенно прав.
В-третьих, примеры, в которых известная предельная формула для е выскакивала все снова и снова, дали нам разумное основание для введения этой предельной формулы и в формулировку теоремы. А это введение оказалось решающим шагом на пути к решению.
В целом кажется естественным и разумным, что индуктивная фаза предшествует доказательной фазе. Сначала догадайтесь, потом Докажите,
ljrn — =— со.
п со ^
.
Комментарий:
Автор :
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
Автор Vanda:
Все, что следовало сделать в литературе по-шекспировски, в основном сделал уже Шекспир.