объяснять знаки, приписываемые только что перечисленным членам. Следовательно, вообще коэффициентом при хп будет
гт (я) - а (л - 1) - а (л - 2) + а [п - 5) + о (я - 7) -
-а (л- 12)-о (я- 15) + . . .
Это продолжается до того момента, пока числа под знаком а остаются неотрицательными. Однако, если появляется член а (0), мы должны подставить вместо него л.
13. Так как сумма бесконечного ряда, рассмотренного в предыдущем п. 12, равна 0, то каково бы ни было значение х, коэффициент при каждой отдельной степени х должен обязательно быть равен 0. Отсюда мы получаем закон, который я объяснил выше в п. 5; я имею в виду закон, управляющий суммами делителей и дающий нам возможность рекуррентно их вычислять для всех чисел. В предыдущем выводе мы можем уловить некоторое основание для знаков, некоторое основание для последовательности чисел
1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77,
и особенно основание для того, почему вместо о(0) мы должны подставлять само число я, что могло показаться наиболее странным свойством моего правила. Это рассуждение, хотя и все еще очень далекое от полного доказательства, безусловно не оставит никаких сомнений относительно необычайного закона, который я здесь объяснил.
3. Переход к более овщей точке зрения.
Приведенный текст Эйлера необычайно поучителен. Мы можем из него почерпнуть много важных сведений о математике, или о психологии изобретения, или об индуктивных рассуждениях. Примеры и примечания в конце этой главы дают возможность исследовать некоторые из математических идей Эйлера, но теперь мы хотим сосредоточить свое внимание на его индуктивном рассуждении.
Теорема, исследованная Эйлером, замечательна в нескольких отношениях и даже сегодня имеет большой математический интерес. Однако нас здесь интересует не столько математическое содержание этой теоремы, сколько доводы, заставившие Эйлера поверить в теорему, когда она все еще не была доказана. Чтобы лучше понять природу этих доводов, я не буду обращать внимания на математическое содержание мемуара Эйлера и дам только схематический очерк, делая ударение на некотором общем аспекте его индуктивного рассуждения.
Поскольку мы будем пренебрегать математическим содержанием различных теорем, которые мы должны рассмотреть, нам будет выгодно обозначить их буквами Т, Т*, Сь С2,. . . ,С*, С*,. . . Читатель может совершенно игнорировать значение этих букв. Но, если бы он пожелал отыскать их в тексте Эйлера, вот ключ:
.
Комментарий:
Автор Linda:
Полноте, люди, сквернить несказанными яствами тело.
Автор :
Автор Асия:
Сомнение - отчаяние мысли; отчаяние - сомнение личности.