11 [§ 2]. Определите число а так, чтобы выражение
Я" = аЯ+(1-сс) Р'
давало наилучшее возможное приближение Е для малого е. (Т. е. порядок начального члена разложения погрешности (Р" — Е)/Е должен быть настолько высоким, насколько это возможно. )
12 (продолжение). Исследуйте приближение посредством Р", следуя методу § 2. (Индуктивно!)
13. Пусть дано положительное целое число р и последовательность положительных чисел аъ а^, а3. . . . . ап, . . . Покажите, что
hm sup -_ еР.
п -» со \ ап J
14 (продолжение). Укажите последовательность «]( аъ а3, для которой достигается равенство.
15.
Объясните наблюдаемые закономерности. Открытие в физике часто достигается в два шага. Сначала в данных наблюдений подмечается некоторая закономерность. Затем эта закономерность объясняется как следствие какого-либо общего закона. Эти два шага могут быть отделены большим промежутком времени, и их могут делать разные люди. Великий пример— пример Кеплера и Ньютона: закономерности в движении планет, наблюдавшиеся Кеплером, были объяснены законом тяготения, открытым Ньютоном. Нечто подобное может случиться в математическом исследовании, и вот изящный пример, требующий небольших предварительных знаний.
Обычная таблица четырехзначных десятичных логарифмов содержит 900 мантисс, а именно мантиссы целых чисел от 100 до 999. До наблюдения мы, возможно, склонны думать, что десять цифр 0, 1, . . . , 9 встречаются в этих таблицах приблизительно одинаково часто, но это не так: в качестве первой цифры мантиссы они, несомненно, появляются не одинаково часто. Сосчитав мантиссы, имеющие одни и те же первые цифры, получим табл. I (проверьте ее!).
Таблица I. Мантиссы с одной и той же первой цифрой в четырехзначных логарифмах
|
Первая цифра
|
Число мантисс
|
Отношения
|
|
0
|
26
|
|
|
1
|
33
|
1,269
|
|
2
|
41
|
1,242
|
|
3
|
52
|
1,268
|
|
4
|
65
|
1,250
|
|
5
|
82
|
1,262
|
|
6
|
103
|
1,256
|
|
7
|
129
|
1,252
|
|
8
|
164
|
1,271
|
|
9
|
205
|
1,250
|
|
|
Всего 900
|
|
Рассматривая второй столбец табл. I, мы можем заметить, что в нем любые два последовательных числа имеют приблизительно одинаковое отношение. Это побуждает нас вычислить эти отношения с несколькими десятичными знаками: они записаны в последнем столбце таблицы.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.