12. Вспомните определение символа Sk (п) (пример 4. 1) и выразите производящую функцию
со п = \
13. Пользуясь примером 11, докажите, что R3 in) делится на 4, /?4 (п) — на 8 и Rs(n) — на 16 для 1. (Этот результат был уже использован в гл. IV, табл. II и III. )
14. Пользуясь примером 12, докажите, что
S2(n) = 0, если п не является числом вида 8т+ 2, Si(n),— 0, если п не является числом вида 8т + 4, S8(«) = 0, если п не является числом вида 8т.
15. Польяуясь примером 11, докажите, что
(п) = Я* (0)*i (п) + Я* (1)Я/ (л - 1)+ . . . + /?* (я) Я, (0).
16. Докажите, что
Sk+i (n) = Sk (1) Si (я - 1) + SA (2) S, (n-2) + . . . + Sft (я - 1) S, (I).
17. Предложите простой метод для составления табл. III гл. IV по табл. I и II той же главы.
18. Пусть 0Л (я) обозначает сумму k-x степеней делителей числа я. Например,
о-3 (15) = 13 + 33 + 53+ 153 = 3528; CTj (п) = а (я).
(1) Покажите, что из предположений, найденных в § 4. 6 и в примере 4-23, следует, что
а (1) о (2и — 1) + а (3) а (2и-3) + . . .
+ о (2м-1) 0 (1) = ст3 (и),
где и обозначает нечетное число.
(2) Численно проверьте частные случаи соотношения, найденного в (1).
(3) Какое влияние такое подтверждение оказывает на вашу веру в предположения, из которых было выведено подтвердившееся соотношение?
19. Другая рекуррентная формула. Рассмотрим производящие функции
со со
о = 21 si и *m. н = 2 s< ихт-
т = \ т = 1
Положим
S4(4m) = s„,
где и — нечетное число. Тогда в силу примеров 14 и 12 0 = л:+;к» + л:а8 + . . . +ж<2л-1)' + . . . , Н = Slx* + s3x12 + *5*2° +. . . + san-i*8"-4 + • • •.
Из последнего соотношения, беря логарифмы и дифференцируя, выводим, что
4In G=ln Н, AG' _ Н' G ~ Н ' G-xH' = A-xG' -Н, (*+хя + х26 +. . . ) (4sxx* + 12sax12 + 20s5*2° +. . . ) =
= 4 (х+9*» + 25*2« +. . . ) (Sl** + s3xla + Sg^o+. . . ).
.
Комментарий:
Автор Наиля:
Слова, еще слова и только слова: это все, что нам оставили самые знаменитые философы шестидесяти поколений.
Автор :
Автор Farhad:
Не думай, как бы ни был ты велик, Что ты всего достиг и все постиг.