15,. . . , казалось бы, не имеет к рассматриваемому вопросу никакого отношения. Более того, поскольку закон этих чисел «прерывист» и они фактически являются смесью двух последовательностей с правильным законом: 1, 5, 12, 22, 35, 51,. . . и 2, 7, 15, 26, 40, 57, мы не могли ожидать, что такая неправильность может встретиться в Анализе. Отсутствие доказательства должно вызвать еще большее удивление, так как кажется совершенно невозможным, чтобы такое свойство удалось открыть, не руководствуясь каким-либо надежным методом, который мог бы заменить безукоризненное доказательство. Я признаюсь, что не чисто случайно наткнулся на это открытие, но что другое предложение проложило путь к этому прекрасному свойству—другое предложение той же природы, которое должно быть принято как верное, хотя я не в состоянии его доказать. И хотя мы здесь рассматриваем природу целых чисел, к которой Исчисление Бесконечно Малых кажется неприложимым, тем не менее я пришел к своему заключение с помощью дифференцирований и других уловок. Я желал бы, чтобы кто-нибудь другой нашел более короткий и более естественный путь, и, быть может, рассмотрение того пути, которому я следовал, могло бы оказать здесь некоторую помощь.
9. Рассматривая разбиения чисел, я много лет тому назад исследовал выражение
(1 -х){\ -х2)(1 -х3){\ -х*)(1 -х5)(\ -xs){\ -х7)(\ -Xs). . . ,
где произведение предполагается бесконечным.
Чтобы увидеть, какого рода ряд получится в результате, я фактически перемножил большое число множителей и нашел
1 -х-х2 + х5 + х7-х12-*184-х22 + х26- jk35-jk40 + . . .
Последовательность показателей степени х совпадает с последовательностью чисел, входящей в приведенную выше формулу; знаки + и — попарно чередуются. Достаточно предпринять это перемножение и продолжить его сколь угодно далеко, чтобы убедиться в том, что этот ряд верен. Однако у меня нет для этого никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов и их степеней. Я долго тщетно разыскивал строгое доказательство равенства между этим рядом и написанным выше бесконечным произведением (1 — х) (1 — хг) X X (1—Xя). . . , и я предложил этот же вопрос некоторым из моих друзей, способности которых в этом отношении мне известны, но все согласились со мной, что это преобразование произведения в ряд верно, хотя никто не сумел раскопать какой-нибудь ключ для доказательства. Таким образом, это познанная, но все же не доказанная истина,. что если мы положим
s = (l -х)(1 -х2)(1 -х3)(1 -х*)(1 -х5)(1 -х*). . . ,
.
Комментарий:
Автор :
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :