3. Определив, как выше, значение символа а (и), мы ясно видим, что если р простое число, то о(р) = 1 -\-р. Вместе с тем о"(1)=1 (а ие 1 -j-1); отсюда мы видим, что из последовательности простых чисел 1 должна быть исключена; 1 есть начальное целое число, ни простое, ни составное. Если, однако, п составное, то о" (и) больше, чем 1 + п.
В этом случае мы легко можем найти а (п) по множителям п. Если а, Ь, с, d, . . . — различные простые числа, то легко видим, что
o(ab) = 1 -\-a + b + ab = (\ +а)(1 + b) = а (а) а (Ь), a(abc) = {\ +а)(1+£)(1 +с) = о(а)о(Ь)о(с), a (abed) = а (а) о" (Ь) а (с) а (d)
и так далее. Нам нужны специальные правила для степеней простых чисел, как
аз—1
а (а2) = 1 а + й2 =
а— 1 '
а*-1
и вообще
а(а*)=1+а + аг+а3=~ а(а")
а—1
Пользуясь этим, мы можем найти сумму делителей любого числа, составленного каким бы то ни было способом. Это мы видим из формул
о (агЬ) — а (а2) о (Ь), a {aW) = а (а3) о ф2), а (а%4) = а (а3) а {№) а (с)
и вообще
а (a4^c"<d6ee) = а (аа) а (6?) а (с>') a {d6) а (е8).
Например, чтобы найти а (360), полагаем, так как 360 разлагается на множители 23 • З2 • 5:
о (360) = о (23) о (З2) а (5) = 15 • 13 • 6 = 1170.
4. Чтобы показать последовательность сумм делителей, я приг вожу следующую таблицу*), содержащую суммы делителей всех Целых чисел от 1 до 99.
1) Число, стоящее в пересечении строки с отметкой 60 и столбца с отметкой 7, т. е. 68, есть 0(67). Если р простое, то а (р) напечатано жирным шрифтом. Таблица устроена несколько более сжато, чем в оригинале.
.
Комментарий:
Автор Jerik:
Не получить вовсе - не страшно, но лишиться полученного обидно.
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.
Автор :