Сравнивая коэффициенты при хъ, х13. х-1, . . . в обеих частях предыдущего равенства, после некоторых элементарных вычислений находим следующие соотношения:
Os, =0,
\s3 -4st =0,
2s5 -3s3 =0,
3s, — 2s5 — 12st =0,
4s9 — Is, — 1 ls3 =0,
5sH — 10s3 =0,
6s13+lsn — 9s7 —24s! = 0,
7s15+2s,3— 8s9 — 23s3 = 0,
8s„ + 3sls— 7sn — 22s3 = 0,
9s19 + 4s17— 6s14 —21s7 = 0, 10s21 + 5s,9 — 5s15 —20s9 —40si = 0, lls23 + 6s2j— 4s17 — 19sa — 39s3 = 0,
Самое первое уравнение этой системы бессодержательно и написано здесь только для того, чтобы подчеркнуть общий закон. Однако мы знаем, что sx = 1. Зная 5|, из следующего уравнения мы получаем s3. Зная s3, из следующего уравнения получаем ss. И так далее, из системы уравнений мы можем сколь угодно далеко вычислить члены последовательности slt s3, s5, . . . , один за другим, рекуррешпно.
Эта система имеет замечательную структуру. Имеется 1 уравнение, содержащее 1 из величин S\, s3, s-,. . . . . 2 уравнения, содержащих 2 из них, 3 уравнения, содержащих 3 из них, и т. д. Коэффициенты в каждом столбце, когда мы переходим от одной строки к следующей, возрастают на 1, а индексы на 2.
Первым индексом в каждом столбце является 1, а коэффициентом —4, умноженное на первый коэффициент этой строки.
Мы можем всю систему сосредоточить в одном уравнении (рекуррентной формуле); напишите ее.
20. Другой Наиболее Необычайный Закон Чисел, Относящийся к Суммам их Делителей. Если остается в силе предположение из § 4. 6, то
52„_i = 54(4 (2л-1)) = о(2л-1),
и, таким образом, пример 19 дает рекуррентную формулу, связывающую члены последовательности о (\), о(3), о (5), о (7), которая во многих отношениях поразительно похожа на формулу Эйлера.
Подробно выпишите и произведите численную проверку первых случаев для указанной рекуррентной формулы.
21. Для нас между рекуррентной формулой Эйлера для о (я) (§ 2) и вышеупомянутой рекуррентной формулой для о (2я —1) (пример 20) существует лишь эвристическое сходство. Для нас эта последняя является предположением. Мы вывели это предположение, как Эйлер вывел свое, «с помощью дифференцирований и других уловок» из других предположений.
Покажите, что рекуррентная формула для а(2п— 1), указанная в примере 20, равносильна равенству
S4(4(2n-l)) = 0(2n-l),
к которому мы пришли в § 4. 6, т. е. если одно из этих двух утверждений верно, то непременно верно и другое.
22. Обобщите пример 19.
23. Придумайте метод для вычисления Rs(n) независима от Rt (п).
.
Комментарий:
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :
Автор :