Примеры и примечания к главе VI
Ш
24. Как Эйлер упустил открытие. Метод, иллюстрированный примерами-19 и 23 и в общем виде высказанный в примере 22, принадлежит Эйлеру *). Придумывая этот метод, Эйлер имел целью задачу о четырех квадратах и некоторые связанные с ней задачи. В самом деле, он применил свой метод к задаче о четырех квадратах и индуктивно исследовал число представлений, но ему не удалось открыть замечательный закон, управляющий Rt (п), который в конце концов не так уж трудно индуктивно обнаружить (примеры 4. 10 — 4. 15). Как это случилось?
Исследуя уравнение ,
я = хг + [/г + г2 + да2,
мы можем выбрать различные точки зрения, в частности следующие:
(1) Допустить в качестве х, у, г и w только неотрицательные целые числа.
(2) Допустить в качестве х, у, г и w все целые числа, положительные, отрицательные и нуль.
Вторая точка зрения, быть может, менее очевидна, но приводит к /?4 (п) и к замечательной связи между £>4 (п) и делителями числа п. Первая точка зрения более очевидна, но число решений, по-видимому, не имеет никакого простого замечательного свойства. Эйлер выбрал точку зрения (1), а не точку зрения (2); он применил свой метод, объясненный в примере 22, к выражению
{\+х+х* + х* + . . . )\
а не к выражению
(1+2х+2л:4 + 2л;9 + . . . )4,
и, таким образом, прошел мимо большого открытия. Поучительно сравнить два направления исследования, которые кажутся такими похожими вначале, но одно из которых удивительно плодотворно, а другое почти совершенно бесплодно.
Свойства Я4 (п), S4 (я), RH (rt) и S8 (n), исследованные в гл. IV (примеры 4,10 — 4. 15, §§ 4.
3 — 4. 6, примеры 4. 18 — 4. 23), были открыты Якоби не индуктивно, но как случайные следствия его исследований об эллиптических функциях. С тех пор было найдено несколько доказательств этих теорем, но ни одно известное доказательство не является вполне элементарным и прямым 2).
25, Обобщение теоремы Эйлера о о (я). Для данного k положите
со оо
П 0-*")*= 1- J] anx* п=\ л=1
и покажите, что для я=1, 2, 3, . . .
°(«)= 5j ат° (л —m)+ najk.
т = 1
Какой частный случай дает теорему Эйлера из § 2?
:) Opera Omnia, ser. 1, vol 4, p. 125—135.
2) См. также для дальнейших ссылок книгу Hardy Q. Н. , Wright Е. М. , An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1938, ch XX.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Майда:
Боже, не дай мне только написать книгу о книгах!