Все это имеет место для очень малого 8, для почти круглых эллипсов. Мы еще не знаем, какая часть этих результатов остается справедливой, когда s не так мало. Фактически в данный момент мы знаем только предельные соотношения, справедливые при s -> 0. Мы еще ничего определенного не знаем о погрешности наших приближений, когда е = 0,5 или е = 0,1. Конечно, то, что нам нужно на практике, это именно информация о таких конкретных случаях.
Практики при таких обстоятельствах проверяют свои формулы численно. Мы можем последовать за ними, но какой случай нам нужно было бы проверить сначала? Рекомендуется не позабыть крайние случаи. Эксцентриситет е меняется между крайними значениями 0 и 1. Когда е = 0, Ь = а и эллипс превращается в окружность. Однако теперь мы знаем этот случай довольно хорошо и поэтому обратимся лучше к другому крайнему случаю. Когда е=1, & = 0, эллипс превращается в прямолинейный отрезок длины 2а, а длина его дуги равна 4а. Мы имеем
/5=4а, Р = яа, Р' = 0, когда 8=1,
Пожалуй, стоит отметить, что в обоих крайних случаях, как для 8=1, так и для очень малого е, Е^>Р^>Р'. Справедливы ли эти неравенства для любого е?
Для второго неравенства ответ не труден.
Действительно, для а^>Ь имеем
Р = я (а + 6) > 2 я (аЬ)1/* = Р', так как это эквивалентно неравенству
(a + bf>4ab,
или
(«-ft)»>0.
Сосредоточим свое внимание на остающемся вопросе. Всегда ли справедливо неравенство £>Р? Естественно предположить, что то, что мы нашли верным в крайних случаях (е мало и е=1), остается верным и в промежуточных случаях (для всех значений е между 0 и 1). Наше предположение не подкрепляется большим числом наблюдений, это верно, но оно подкрепляется аналогией. На подобный же вопрос (относительно Р > Р'), который был задан одновременно и опирался на подобные же основания, ответ был утвердительным.
Проверим какой-нибудь случай численно. Мы немного больше знаем о случае, когда е близко к 0, чем о случае, когда оно близко к 1. Выберем для г простое значение, более близкое к 1, чем к 0: а = 5, & = 3, е = 4/5. Для этого е (пользуясь соответствующими таблицами) находим
_Е = 2 л X 4,06275, Р = 2я X 4,00000. . _
.
Комментарий:
Автор Наиля:
Слова, еще слова и только слова: это все, что нам оставили самые знаменитые философы шестидесяти поколений.
Автор Paulina:
Способность к негодованию составляет важнейшую часть вооружения всякого честного человека.
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.