ОТКРЫТИЕ НАИБОЛЕЕ НЕОБЫЧАЙНОГО ЗАКОНА ЧИСЕЛ, ОТНОСЯЩЕГОСЯ К СУММАМ ИХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
1. До сих пор математики тщетно пытались обнаружить в последовательности простых чисел какой-либо порядок, и мы имеем все основания верить, что здесь существует какая-то тайна, в которую человеческий ум никогда не проникнет. Чтобы убедиться, следует только взглянуть на таблицу простых чисел, которую некоторые взяли на себя труд вычислить дальше чем до ста тысяч, и осознать, что здесь нет никакого порядка и никакого правила. Это тем более удивительно, что арифметика дает нам определенные правила, с помощью которых мы можем продолжать последовательность простых чисел сколь угодно далеко, не замечая, однако, ни малейшего следа порядка. Я сам, конечно, далек от этой цели, но мне удалось открыть чрезвычайно странный закон, управляющий последовательностью сумм делителей целых чисел, которая на первый взгляд кажется неправильной ровно в такой же. степени, как и последовательность простых чисел, и которая в некотором смысле даже включает в себя эту последнюю. Этот закон, который я вскоре объясню, по моему мнению, тем более замечателен, что он имеет такую природу, что мы можем быть уверены в его справедливости, не давая ему безукоризненного доказательства. Тем не менее я представлю в его пользу такие доводы, которые можно рассматривать как почти равносильные строгому доказательству.
2. Простое число не имеет делителей, за исключением единицы и самого себя, и это отличает простые числа от других чисел. Там 7 есть простое число, потому что оно делится только на 1 и на себя. Любое другое число, имеющее, кроме единицы и самого себя, другие делители, называется составным, как например число 15, которое, кроме 1 и 15, имеет делители 3 и 5.
Следовательно, вообще, если число р простое, то оно будет делиться только на 1 и р; но если бы, р было составным, то оно имело бы, кроме 1 и р, другие делители. Поэтому в первом случае сумма его делителей будет равна 1 -\-р, но во втором она превышает 1-f-/7- Поскольку я собираюсь рассматривать суммы делителей различных чисел, для обозначения суммы делителей числа я я буду пользоваться1) символом а (я). Так, а (12) обозначает сумму всех делителей числа 12, каковыми являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12, следовательно, а (12) = 28. Таким же образом можно видеть, что а(60)= 168 и ст(100)=217. Однако, так как единица делится только на себя, а(1)=1. Далее, 0 (нуль) делится на все числа. Поэтому а(0) должно было бы, собственно, быть бесконечно. (Однако я буду приписывать ему позднее конечные значения, различные в различных случаях, и это окажется полезным. )
Ч Эйлер первым ввел символ для суммы делителей. Он пользовался символом \п, а не современным о (п), принятым в тексте.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Jerik:
Не получить вовсе - не страшно, но лишиться полученного обидно.