2. Приближения Пусть Е обозначает длину дуги эллипса с полуосями а и Ь. Для Е не существует простого выражения через а и Ь, но было предложено несколько приближенных выражений, среди которых следующие два являются, пожалуй, наиболее очевидными:
р = к (а + Ь), Р' = 2 я (а6)'/2;
Р — приближенное, Р'— другое приближенное, Е — точное выражение для одной и той же величины — длины дуги эллипса. Когда а совпадает с Ь, эллипс становится окружностью и как Р, так и Р' совпадают с Е.
Насколько хорошо Р и Р' приближают Е, когда а отлично от 6? Какое из них ближе к истине, Р или Р'? Вопросы этого рода часто возникают во всех областях прикладной математики, и существует общепринятый способ подхода к ним, который мы в общих чертах опишем следующим образом. Разложите (Р — Е)/Е, относительную погрешность приближения, по степеням подходящей малой величины и основывайте ваше суждение на начальном (первом отличном от нуля) члене разложения.
Посмотрим, чго это означает и как этот прием осуществляется в применении к нашему случаю. Сначала нам нужно выбрать «подходящую малую величину». Испытаем 8, эксцентриситет эллипса, определяемый формулой
Е = —--— ;
а '
а мы считаем большой, а b малой полуосью. Когда а превращается в Ь, а эллипс в окружность, 8 обращается в нуль. Когда эллипс не очень отличается от окружности, е мало. Разложим поэтому относительную погрешность по степеням г. Мы получим (опуская здесь детали)
Р-Е _ _ _1_ 4 Р'-Е _ _ 3_ 4 ,
Мы вычислили только начальный член, который в обоих случаях имеет порядок 4, содержит б4.
В обоих разложениях мы не выписали члены высшего порядка, содержащие б5, е6,. . . . Когда г очень мало (бесконечно мало), т. е. когда эллипс почти круглый, невыпи-санные члены по сравнению с начальными членами незначительны. Поэтому для почти круглого эллипса Р ближе к истинному значению Е, чем Р'. (Действительно, отношение погрешностей стремится к 1:3, когда г стремится к нулю. ) И Р n Р' приближают Е снизу:
I) Ср. Putnam, 1949.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.