В правой части равенства находится ряд по степеням х. Коэффициент при хп в этом степенном ряде есть а (я), сумма делителей числа п. Обе части равенства представляют одну и ту же функцию от х. Разложение этой функции по степеням х «производит» последовательность а(1), а (2), . . . , а («), . . . , и потому мы называем эту функцию производящей функцией последовательности а (л). Вообще, если
/ О) = а0 + ахх + а„х"- + • • • + апхп +. . . ,
то мы говорим, что / (х) есть производящая функция для ап, или функция, производящая последовательность а0, ay, о2, . . . , ап, . . . .
Название «проводящая функция» принадлежит Лапласу, Однако, не давая ему названия, Эйлер пользовался аппаратом производящих функций задолго до Лапласа в нескольких сочинениях, с одним из которых мы только что познакомились в § 2. Он применил этот математический аппарат к нескольким задачам комбинаторного анализа и теории чисел.
Производящая функция является устройством, отчасти напоминающим мешок. Вместо того чтобы нести отдельно много маленьких предметов, что могло бы оказаться затруднительным, мы кладем их в мешок, и тогда нам нужно нести лишь один предмет, мешок. Совершенно таким же образом, вместо того чтобы иметь дело с каждым" членом последовательности а0, alt а2, ап, . . . в отдельности, мы ставим их в степенной ряд У} апхп и тогда нам нужно иметь дело лишь с одним математическим объектом, степенным рядом.
2. Найдите производящую функцию для п. Или, что то же самое, найдите сумму ряда пхп.
3. Дано, что / (. v) — производящая функция последовательности а0, аг, а2, . . . , ап. . . . . Найдите производящую функцию последовательности
0а0, \аи 2а2. .
. . . пап, . . .
4. Дано, что / (х) — производящая функция последовательности а0, аъ а2, . . . , ап, . . . Найдите производящую функцию последовательности
О, а0, <h ••■ . ап-и ■■■
5. Дано, что f (х) — производящая функция последовательности аЛ. Найдите производящую функцию последовательности
s,l = a0 + a1 + а2 + . . . + ап.
6. Дано, что j (х) и g (х) — производящие функции соответственно для а„ и Ьп. Найдите производящую функцию для
с п. = аФп + <цЪП-1 + аФп-i + • • • + апЬ0.
7. Одна комбинаторная задача плоской геометрии. Выпуклый многоугольник с п сторонами разбивается п — 3 диагоналями на п — 2 треугольника, см. рис. 6. 1. Обозначим символом Dn число различных разбиений.
Найдите Dn для л = 3, 4, 5, 6.
8 (продолжение). Нелегко на основании числовых значений, рассмотренных в примере 7, угадать общее явное выражение для Dn. Однако последовательность D3, £>4, £>5, . . . является «рекуррентной последовательностью» в следующем очень общем смысле: каждый ее член может быть вычислен по предыдущим членам по неизменному правилу, «рекуррентной формуле» (см. мемуар Эйлера, п. 5).
.
Комментарий:
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.
Автор :
Автор Измаил:
Магнитная стрелка, непреодолимо влекомая к северу, подобна мужу, который блюдёт законы.