VII. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Метод 0кова Бернулли имеет значение и для естествознания. Он учит нас, что свойство А, найденное при помощи неполной индукции в членах Ci, Сг, Са, . . . понятия В, можно только в том случае приписать самому этому понятию, если констатировано, что это свойство связано с признаками понятия В и от изменений его членов не зависит. Как во многих других случаях, математика и здесь является образцом для естествознания. — Эрнст Мах1)
1. Индуктивная фаза. Опять мы начинаем с примера. Совсем нетрудно найти сумму первых п целых чисел. Формулу
1+2 + 3 + . . . + » = -^,
которую можно открыть и доказать многими способами, мы будем считать известной2). Труднее найти формулу для суммы п первых квадратов
14-44-94-16 +. . . + «2.
Нетрудно вычислить эту сумму для малых значений п, но уловить правило нелегко. Вполне естественно, однако, попытаться обнаружить какого-то рода параллелизм между этими двумя суммами и рассмотреть их совместно:
п 1 2 3 4 5 6. . .
1 4-2 4-. . . + Я 1 3 6 10 15 21 . . . 124-224-.
. . 4-я2 1 5 14 30 55 91. . .
l) М а х Э. , Познание и заблуждение, М. , 1909, стр. 316. [Смысл этой довольно туманной фразы (под «членом понятия» здесь, очевидно, имеется в виду элемент его объема) автор пытается объяснить в тексте главы. Нам, однако, представляется, что, собственно, к математической индукции она имеет малое отношение: ведь с помощью метода математической индукции доказываются не свойства понятия числа, а свойства чисел. Так, если В есть понятие натурального числа, а Съ С2 . . . , Сп . . . — натуральные числа 1,2,. . . , п, . . . , то в доказательствах с помощью математической индукции доказывается не А (В) (где А (В) означает, что В обладает свойством А), а истинность А (я) для всякого п — Прим. ред. ]
а) См. «Как решать задачу», стр. 95.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
Автор :