Т есть теорема
(Г~х)(1-х2)(\-х3). . . = 1-х-х2 + хь + х'1-х12-х15 + . . .
Закон чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15, . . . объяснен в § 2, п. 5, II.
Сп есть утверждение, что коэффициенты при хп в обеих частях предыдущего равенства одинаковы. Например, Св утверждает, что, разлагая произведение в левой части равенства, мы найдем, что коэффициент при Xе равен 0. Заметьте, что Сп есть следствие теоремы Т.
С* есть равенство
о(п) = а(п- 1) +о-(я-2)-о-(я-5)-о-(я-7) + . . . ,
подробно объясненное в § 2, п. 5. Например, С| утверждает, что
а (6) = а (5) +о-(4)-G(l).
Т* есть «наиболее необычайный закон», утверждающий, что все С*, С*, Cf, . . . верны. Заметьте, что С% есть следствие (частный случай) теоремы Т*.
4. Схематический очерк мемуара Эйлера '). Теорема Т имеет такую природу, что мы можем быть уверены в ее справедливости, не давая ей безукоризненного доказательства.
Тем не менее я представлю в ее пользу такие доводы, которые можно рассматривать как почти равносильные строгому доказательству.
Теорема Т включает в себя бесконечное число частных случаев Сь С2, С3, . . . Наоборот, бесконечное множество этих частных случаев Сь С2, С3, . . . равносильно теореме Т. С помощью простого вычисления мы можем узнать, верно ли С\ или нет. Другое простое вычисление определяет, верно ли С2 или нет, и подобным же образом для С3 и т. д. Я проделал эти вычисления и нашел, что все Сь С2, С3, . . . , С40 верны. Достаточно предпринять эти вычисления и продолжить их сколь угодно далеко, чтобы убедиться в том, что эта последовательность, продолженная неограниченно, верна. Однако у меня нет для этого никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, для которого Сь Сг, . . . являются частными случаями. Я долго тщетно разыскивал строгое доказательство теоремы Т и предложил этот же вопрос некоторым из моих друзей, способности которых в этом отношении мне известны, но все согласились со мной, что теорема Т верна, хотя никто не сумел раскопать какой-нибудь ключ для доказательства. Таким образом, это познанная, но все же не доказанная истина, ибо каждый из нас может в этой истине убедиться с помощью фактического вычисления сколь угодно большого числа
'*) Этот очерк впервые был опубликован в моей статье «Heuristic Reasoning and the Theory of Probability;), Amer. Math. Monthly, 48 (1941), 450 — 465. Курсив в очерке указывает фразы, не принадлежащие Эйлеру.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Paulina:
Способность к негодованию составляет важнейшую часть вооружения всякого честного человека.