случаев Сь С2, С3, . . . , и кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было наблюдать и для следующих членов.
Поскольку мы таким образом обнаружили, что теорема Т верна, хотя и оказалось невозможным ее доказать, все заключения, которые могут быть из нее выведены, будут той же природы, т. е. будут верны, но не доказаны. Или если бы одно из этих заключений можно было доказать, то, наоборот, можно было бы получить ключ к доказательству теоремы Т; и именно с таким намерением я различными способами манипулировал теоремой Т и таким путем среди других открытий нашел теорему '/'*, справедливость которой должна быть столь же несомненной, как и справедливое гь теоремы Т.
Теоремы Т и 7'* равносильны; они обе верны или не верны; они вместе стоят или рушатся. Подобно Т, теорема Т* включает в себя бесконечное число частных случаев С*, С*, С*, . . . , и эта последовательность частных случаев равносильна теореме 7"*. Здесь снова простое вычисление показывает, верно ли С* или нет. Подобным же образом можно определить, верно ли С* или нет и т. д. Нетрудно применить теорему Т* к любому данному частному случаю и таким образом всякий может убедиться в ее справедливости на стольких примерах, сколько он пожелает разобрать. И так как я должен допустить, что не в состоянии дать ей строгого доказательства, то я оправдаю ее достаточно большим числом примеров, С*, С*, С*а.
Я думаю, этих примеров достаточно, чтобы заставить любого отказаться от представления, что мое правило находится в согласии с истиной лишь по простой случайности.
Если кто-нибудь еще сомневается в том, что закон точно таков, как я указал, я приведу несколько примеров с большими числами. Путем, проверки я нахожу, что С*01 и С?т верны, и, таким образом, я нахожу, что теорема Т* справедлива даже для этих случаев, далеко отстоящих от тех, которые я проверил раньше. Эти примеры, которые я только что разобрал, безусловно рассеют любые сомнения, которые мы могли бы иметь в отношении справедливости теорем Т и Г*.
Открывая свой «наиболее необычайный закон чисел», Эйлер «пришел к своему заключению с помощью дифференцирований и других уловок», хотя «Исчисление Бесконечно Малых кажется неприложимым к природе целых чисел». Чтобы понять метод Эйлера, применим его к подобным же примерам. Начнем с того, что дадим название его главной «уловке», или математическому аппарату.
1. Производящие функции. Сформулируем результат п. 11 мемуара Эйлера в современных обозначениях:
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VI
оо
1
л пхп
1
а (I) х + а (2) х2 +. . . + в (п) хп +. . .
Л = 1
.
Комментарий:
Автор Farhad:
Не думай, как бы ни был ты велик, Что ты всего достиг и все постиг.
Автор Levan:
Я не создан для этого мира, где стоит только выйти из дому, как попадаешь в сплошное дерьмо.
Автор :