Именно это можем сделать й мы. Мы собираемся исследовать и другие многогранники, подсчитать их грани, вершины и ребра и сравнить Г-\-В и P-j-2. Эти числа могут быть равны или нет. Будет интересно выяснить, что же имеет место в действительности.
Рассматривая рис. ЗЛ, мы можем заметить, что уже исследовали три из правильных многогранников, куб, тетраэдр и октаэдр (I, Y и VII). Исследуем оставшиеся два, икосаэдр и додекаэдр.
Икосаэдр имеет 20 граней, все они треугольники, и, таким образом, Г=20. 20 треугольников имеют вместе 3 x 20 = 60 сторон, причем каждое ребро икосаэдра является общей стороной двух треугольников. Следовательно, число ребер равно 60/2 = 30 = Р. Аналогично мы можем найти В. Мы знаем, что вокруг каждой из вершин икосаэдра группируется по 5 его граней. 20 треугольников вместе имеют 3 x 20 = 60 углов, причем 5 углов имеют общую вершину. Следовательно, число вершин равно 60/5 = 12 = 73.
Додекаэдр имеет 12 граней, все они пятиугольники, причем вокруг каждой вершины группируется по 3 пятиугольника. Отсюда, как и прежде, заключаем, что
Г=12, В = 1^=20, р = ^215=зо.
Мы можем теперь прибавить к нашей таблице на стр.
58 еще две строки:
|
Многогранники
|
Г
|
В
|
р
|
|
|
, 20
|
12
|
30
|
|
Додекаэдр . . . .
|
12
|
20
|
30
|
Наше предположение, что Г-f- В = Р -f-2, подтверждается в обоих случаях.
3. Еще подкрепляющие контакты. Благодаря предыдущим подтверждениям, наше предположение стало ощутимо более правдоподобным; но доказано ли оно теперь? Никоим образом. В подобной ситуации скрупулезный натуралист чувствовал бы удовлетворение успехом своего эксперимента, но продолжал бы придумывать дальнейшие эксперименты. Какой многогранник следовало бы нам испытать теперь?
Дело в том, что наше предположение к настоящему времени так хорошо подтвердилось, что подтверждение еще в одном только случае лишь немного прибавило бы к нашей уверенности, возможно так мало, что едва ли стоило бы труда выбирать многогранник и подсчитывать его части. Не могли ли бы мы найти более стоящий путь испытания нашего предположения?
Рассматривая рис. 3. 1, мы можем заметить, что все тела в верхнем ряду имеют одинаковую природу: они — призмы. Точно так же все тела во втором ряду — пирамиды. Няше предположение верно
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Асия:
Сомнение - отчаяние мысли; отчаяние - сомнение личности.