9. Видоизменение задачи. Сосредоточим внимание на нашей задаче. Нам даны 5 плоскостей в общем положении. Они разрезают пространство на определенное число частей. (Мы можем представить себе сыр, рассеченный на куски пятью прямолинейными разрезами острого ножа. ) Нам нужно найти число этих частей. (На сколько частей разрезается сыр?)
Кажется трудным сразу увидеть все части, на которые пространство разбивается пятью плоскостями. (Может быть, невозможно их «увидеть». Как бы то ни было, не перенапрягайте своего воображения, лучше попытайтесь думать. Ваш разум может повести вас дальше, чем ваше воображение. ) Но почему именно пять плоскостей? Почему не любое число плоскостей? На сколько частей пространство делится четырьмя плоскостями? 'Гремя плоскостями? Или двумя плоскостями? Или всего лишь одной плоскостью?
Мы подошли здесь к случаям, доступным нашей геометрической интуиции. Одна плоскость, очевидно, делит пространство на 2 части. Две плоскости, если они параллельны, делят пространство на 3 части. Мы должны, однако, отбросить это специальное расположение; 2 плоскости, находящиеся в общем положении, пересекаются и делят пространство на 4 части. Три плоскости, находящиеся в общем положении, делят пространство на 8 частей.
Чтобы ясно понять этот последний, более трудный случай, можно представить себе две вертикальные стены внутри здания, пересекающие одна другую, и горизонтальное перекрытие, поддерживаемое балками, пересекающее обе стены и образующее вокруг точки, где оно пересекается со степами, одновременно пол четырех комнат и потолок других четырех комнат.
10. Обобщение, специализация, аналогия. Наша задача относится к 5 плоскостям, но вместо того, чтобы рассматривать 5 плоскостей, сначала мы занялись 1, 2 и 3 плоскостями. Не потратили ли мы свое время зря? Совсем нет. Исследуя более простые аналогичные случаи, мы готовились к нашей задаче. Мы попробовали свои силы на этих более простых случаях; мы выяснили необходимые понятия и познакомились с тем типом задач, с которым должны встретиться.
Даже путь, который привел нас к этим более простым аналогичным задачам, типичен и заслуживает внимания. Сначала мы перешли от случая 5 плоскостей к случаю любого числа плоскостей, скажем п плоскостей: мы произвели обобщение. Затем от п плоскостей мы вернулись к 4 плоскостям, к 3 плоскостям, к 2 плоскостям, к всего лишь одной плоскости, т. е. в общей задаче мы положили я = 4, 3, 2, 1: мы произвели специализацию. Но задача о делении пространства, скажем, тремя плоскостями аналогична нашему первоначальному вопросу относительно пяти плоскостей. Итак, мы пришли к аналогии обычным путем, вступительным обобщением и последующей специализацией.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :