Теперь рассмотрим разбиение пространства четырьмя плоскостями, ограничивающими тетраэдр. Одна часть конечна, это внутренность гефаэдра. Бесконечная часть может иметь общую грань (двумерный элемент границы) с тетраэдром (имеются 4 такие части), или общее ребро (одномерный элемент границы; имеются б частей этого типа), или общую вершину (нульмерный элемент границы; имеются 4 части этого типа, показанные на рис. 3. 3). Таким образом, число всех частей равно 1+4 + 64-4=15.
Мы пришли к этому результату с помощью аналогии, и воспользовались аналогией типичным, важным способом. Сначала мы придумали более легкую аналогичную задачу и решили ее. Затем, чтобы решить первоначальную более трудную задачу (о тетраэдре), мы воспользовались новой более легкой аналогичной задачей (о треугольнике) как моделью; при решении более трудной задачи мы следовали образцу , решения более легкой задачи. Но прежде чем сделать это, мы должны были пересмотреть решение более легкой задачи. Мы перестроили его, переделали в новый • образец, пригодный для подражания.
Выделить аналогичную более легкую задачу, решить ее, переделать ее решение так, чтобы оно могло служить в качестве модели, и, наконец, добиться решения первоначальной задачи, следуя только что созданной модели, — этот метод непосвященному может казаться окольным, но он часто применяется в математических и нематематических научных исследованиях.
12.
Серия аналогичных задач. Однако наша первоначальная задача все еще не решена. Она относится к разбиению пространства пятью плоскостями. Какова аналогичная задача для двух измерений? Разбиение пятью прямыми? Или четырьмя прямыми? Для нас лучше, быть может, рассмотреть эти задачи в полной общности: разбиение пространства я плоскостями и разбиение плоскости я прямыми. Эти разбивающие прямые должны, конечно, находиться в общем положении (никакие 2 не параллельны и никакие 3 не имеют общей точки).
Если мы привыкли пользоваться геометрической аналогией, то можем сделать еще один шаг и рассмотреть деление прямой линии я различными точками. Хотя эта задача совсем тривиальна, она может оказаться поучительной. Мы легко видим, что прямая делится одной точкой на 2 части, двумя точками на 3, тремя точками на 4 и вообще я точками на я+1 различных'частей.
Опять-таки, если мы привыкли обращать внимание на крайние случаи, то можем рассмотреть неразделенное пространство, плоскость или прямую и считать его «разбиением, осуществленным 0 разбивающих элементов».
Составим следующую таблицу, исчерпывающую все наши результаты, полученные до сих пор.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Варя:
Она всегда умела привести цитату, а это хорошая замена собственному остроумию.