Многогранники Г В Р
Тетраэдр. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6
Куб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 8 12
Октаэдр. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 12
Пятигранная призма. . . . . . . . . . . 7 10 15
Пятигранная двойная пирамида . . . . 10 7 15
Додекаэдр.
. . . . . . . . . . . . . . . . 12 20 30
Икосаэдр. . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 30
Наблюдаете ли вы какую-нибудь закономерность? Можете ли вы ее объяснить? Какова связь с формулой Эйлера?
4. Попытайтесь обобщить соотношение между двумя многогранниками, наблюдаемое в таблице примера 3. [Соотношение, описанное в решении примера 3 в (2), слишком «узко» и «детально». Возьмите, однако, куб и октаэдр в описанной там ситуации, окрасьте ребра одного красной, а другого синей краской и спроектируйте их из их общего центра Р на поверхность шара, как описано в примере 2. Затем сделайте обобщение. ]
5. Было бы достаточно доказать формулу Эйлера в частном случае: для выпуклых многогранников, имеющих только треугольные грани. Почему? [§ 4„]
6. Было бы достаточно доказать формулу Эйлера в частном случае: для выпуклых многогранников, имеющих только трехгранные вершины. Почему? [§ 4. ]
7. При доказательстве формулы Эйлера мы можем ограничиться плоскими фигурами. Действительно, представьте себе, что Г—1 граней многогранника сделаны из картона, а одна грань из стекла; назовем эту грань «окном». Вы смотрите через окно внутрь многогранника, причем ваши глаза находятся так близко к окну, что вам видна вся внутренность многогранника. (Это может оказаться неосуществимым, если многогранник не является выпуклым. ) То, что вы видите, вы можете интерпретировать как плоскую фигуру, начерченную на оконном стекле: вы видите подразделение окна на более мелкие многоугольники. В этом подразделении имеется iV2 многоугольников, iVt прямых граничных линий (некоторые внешние, некоторые внутренние) и iV0 вершин. '
(1) Выразите N0, Ni и iV2 через Г, В я Р.
(2) Если для Г, В и Р имеет место формула Эйлера, то какая формула имеет место для N0, N1 и iV2?
8. Прямоугольник имеет / см в длину и т см в ширину; / и т — целые числа. Прямоугольник подразделяется на 1т равных квадратов прямыми, параллельными его сторонам.
(1) Выразите N0, Nt и /V2 (определенные в примере 7) через I и т.
(2) Справедливо ли соотношение примера 7 (2) в этом случае?
9. Примеры 5 и 7 наводят на мысль, что нам нужно было бы исследовать подразделение треугольника на iVa треугольников с N0 — 3 вершинами внутри подразделяемого треугольника. Вычисляя суммы всех углов в этих N2 треугольниках двумя различными способами, вы можете доказать формулу Эйлера.
10. § 7 наводит на мысль распространить формулу Эйлера на случай четырех и большего числа измерений. Как мы могли бы сделать такое распространение осязаемым? Как можно было бы ясно его себе представить?
Пример 7 показывает, что случай многогранника может быть сведен к подразделению плоского многоугольника. Аналогия подсказывает, что случай четырех измерений можно свести к подразделению многогранника в нашем видимом трехмерном пространстве. Если мы хотим действовать индуктивно, то должны исследовать какие-нибудь примеры такого подразделения. По аналогии с примером 8 возникает следующий пример.
Ящик (т. е. прямоугольный параллелепипед) имеет измерения /, т и л; эти три числа целые. Ящик подразделяется на 1тп равных кубов плоскостями, параллельными его граням. Пусть N0, Nlt N2 и Na обозначают соответственно число вершин, ребер, граней и многогранников (кубов), образующих подразделение.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Farhad:
Не думай, как бы ни был ты велик, Что ты всего достиг и все постиг.