(1) Выразите N0, Nv N2 и N3 через I, m и п.
(2) Существует ли соотношение, аналогичное равенству (2) в решении примера 7?
11. Пусть Ln обозначает число частей, на которые плоскость делится п прямыми линиями, находящимися в общем положении. Докажите, что L„ + 1 = = /. „ + (л+1).
12. Пусть Sn обозначает число частей, на которые пространство делится п плоскостями в общем положении. Докажите, что S„ + 1 = 5„ + L4.
13. Проверьте предполагаемую формулу
. , , , п(п— 1)
для л = 0, 1, 2, 3, 4.
14. Догадайтесь, какова должна быть формула для Sn, и убедитесь, что она верна для л = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
15. Скрлько частей из тех 11, на которые плоскость делится четырьмя прямыми, находящимися в общем положении, являются конечными? [Сколько бесконечными?)
16. Обобщите предыдущую задачу?
17. Сколько частей из тех 26, на которые пространство делится пятью плоскостями, являются бесконечными?
18. Пять плоскостей проходят через центр шара, но в других отношениях их положение является общим. Найдите число частей, на которые поверхность шара делится этими пятью плоскостями.
19. На сколько частей делится плоскость пятью попарно пересекающимися окружностями, находящимися в общем положении?
20. Обобщите предыдущие задачи.
21.
Индукция: приспособление ума, приспособление языка. Индукция имеет результатом приспособление нашего ума к фактам. Когда мы сравниваем наши идеи с наблюдениями, то может иметь место согласие или несогласие. Если имеет место согласие, то мы чувствуем большую уверенность в своих идеях; если имеет место несогласие, то мы видоизменяем свои идеи. После повторных видоизменений наши идеи могут несколько лучше соответствовать фактам. Первые наши идеи о новом предмете почти обязаны быть ошибочными, по крайней мере частично; индуктивный процесс дает нам возможность исправить их, приспособить их к действительности. Наши примеры показывают этот процесс в малом масштабе, но довольно ясно. В § 1 после двух или трех ошибочных предположений мы в конечном счете пришли к правильному предположению. Вы можете сказать, что мы пришли к нему случайно. «Однако такие случаи встречаются только людям, которые их заслуживают»,— как однажды сказал Лагранж, когда обсуждалось одно несравненно более великое открытие Ньютона.
Приспособление ума может в большей или меньшей степени совпадать с приспособлением языка; как бы то ни было, одно идет рука об руку с другим. Прогресс науки отмечается прогрессом терминологии. Когда физики начинали говорить об «электричестве» или врачи об «инфекции», эти термины были туманными, неясными, путаными. Термины, которыми ученые пользуются сегодня, как например «электрический заряд», «электрический ток» «грибковая инфекция», «вирусная инфекция», являются несравненно более ясными и более определенными. Но между этими двумя терминологиями лежит огромное количество наблюдений, искусных экспериментов, а также несколько великих открытий. Индукция изменила терминологию, выяснила понятия. Мы можем проиллюстрировать и эту сторону процесса, т. е. индуктивное выяснение понятий, подходящим небольшим математическим примером. Вот ситуация, не столь уж нечастая в математическом исследовании: теорема уже сформулирована, но мы должны придать более точный смысл терминам, в которых она сформулирована, чтобы сделать ее безукоризненно правильной. Это, как мы увидим, может быть удобно сделано с помощью индуктивного процесса.
.
Комментарий:
Автор Antip:
Начало есть половина всего.
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.
Автор :