стандартами число 26 есть только определенная догадка, и подозреваемое общее правило не может быть доказано никаким количеством экспериментальных подтверждений. Индукция делает свои результаты вероятными, она никогда их не доказывает.
Можно, однако, заметить, что индуктивное исследование может быть в математике полезно в другом отношении, о котором мы еще не упоминали. Тщательное наблюдение частных случаев, которые приводят нас к общему математическому результату, может также подсказать его доказательство. Из внимательного исследования частного случая может возникнуть общее понимание.
В самом деле, это действительно произошло с нами уже в предыдущем параграфе. Общее правило, которое мы открыли с помощью индукции, относится к двум расположенным рядом числам в нашей таблице, как например 7 и 4, и к их сумме, которая в этом случае равна 11. Далее, в предыдущем параграфе мы ясно увидели геометрическое значение чисел 7, 4 и 11 в нашей задаче и при этом поняли, почему там возникает соотношение 7 + 4 = 11. Мы фактически имели дело с переходом от 3 прямых, делящих плоскость, к 4 таким прямым. Однако в числах 3 и 4 нет никаких особых достоинств; точно так же мы могли бы перейти от любого целого числа к следующему, от п к я+1. Рассмотренный частный случай может представлять нам всю ситуацию (пример 2. 10). Я предоставляю читателю удовольствие полностью извлечь общую идею из частного наблюдения предыдущего параграфа.
При этом он может дать формальное доказательство для индуктивно открытого иравгла, по крайней мере насколько это относится к двум последним столбцам.
Всё же, чтобы завершить доказательство, мы должны не только рассмотреть разбиение плоскости прямыми, но и разбиение пространства плоскостями. Мы можем, однако, надеяться, что если мы в состоянии разобраться с разбиениями плоскости, то аналогия поможет нам разобраться и с разбиениями пространства. Снова я предоставляю читателю удовольствие извлечь пользу из совета, который дает аналогия.
18. Еще предположения. Мы не исчерпали еще тему о разбиениях плоскости и пространства. Осталось еще сделать несколько маленьких открытий, и они вполне доступны индуктивным рассуждениям. Нас легко может привести к ним тщательное наблюдение и сделанное с пониманием сопоставление частных примеров.
Мы можем пожелать найти формулу для числа частей, образуемых при разбиении плоскости я прямыми, находящимися в общем положении. Фактически у нас уже есть формула в простейшем аналогичном случае: я различных тачек делят прямую на я+1 отрезков. Эта аналогичная формула, частные случаи, записанные в нашей таблице, наше индуктивно открытое общее правило (которое мы почти доказали), все наши результаты, полученные до сих пор, могут помочь
.
Комментарий:
Автор :
Автор Владлена:
Человек по природе добр.
Автор Измаил:
Магнитная стрелка, непреодолимо влекомая к северу, подобна мужу, который блюдёт законы.