нам решить эту задачу. Я не вхожу в детали. Я просто отмечу решение, которое можно найти, следуя только что сделанным намекам, разными способами.
Число частей, на которые прямая делится п различными точками, равно и+ 1. Число частей, на которые плоскость делится п прямыми,
, 1,1 п(п—\)
находящимися в общем положении, равно 1+/Н——•
Читатель может вывести последнюю формулу или по крайней мере проверить ее в простейших случаях, для я = 0, 1, 2, 3, 4. Я также предоставляю читателю удовольствие открыть третью формулу того же типа для числа частей пространства. Делая это маленькое открытие, читатель может расширить свой опыт индуктивных рассуждений в математических вопросах и почувствовать ту приятную помощь, которую оказывает нам аналогия при решении задач, больших или малых.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ III
Формула Г + В = Р + 2, предположение о которой мы высказали в § 1, принадлежит Леонарду Эйлеру. Мы называем ее «формулой Эйлера», рассматриваем как предположение и исследуем различными способами в примерах 1—10, иногда индуктивно, а иногда с целью найти доказательство. Мы возвращаемся к ней в примерах 21—30 и 31—41. Перед тем как приняться за какой-нибудь пример в этих разделах, прочтите соответственно примеры 21 и 31.
1. Две пирамиды, расположенные по разные стороны от их общего основания, вместе образуют «двойную пирамиду». Октаэдр есть частный случай двойной пирамиды; общее основание —квадрат. Имеет ли место формула Эйлера для произвольной двойной пирамиды?
2. Возьмите выпуклый многогранник с Г гранями, В вершинами и Р ребрами, выберите внутри него точку О (например, его центр тяжести), опишите шар с центром О и спроектируйте многогранник из центра О на поверхность шара.
Эта проекция переводит Г граней в Г областей или «стран» на поверхности шара, любое из ребер она переводит в граничную линию, разделяющую две соседние страны, и любую из В вершин —в «угол» или общую границу трех или более стран («угол трех стран», или «угол четырех стран», и т. д. ). Эта проекция дает граничные линии особенно простой природы (дуги больших кругов), но, очевидно, справедливость формулы Эйлера для такого подразделения поверхности шара на страны не зависит от точной формы граничных линий; на числа Г, В и Р не оказывает влияния непрерывная деформация этих линий.
(1) Меридиан есть половина окружности большого круга, соединяющая два полюса, южный и северный. Параллель есть пересечение поверхности шара с плоскостью, параллельной экватору. Поверхность шара делится т меридианами и р параллелями на Г стран. Вычислите Г, В и Р. Имеет ли место формула Эйлера?
(2) Проекция октаэдра из его центра на поверхность шара является частным случаем ситуации, описанной в (1). Для каких значений т и р?
3. Случай играет некоторую роль в открытии. Индуктивное открытие, очевидно, зависит от наблюдаемого материала. В § 1 мы встретились с несколькими многогранниками, но случайно могли бы натолкнуться и на другие. Вероятно, мы не пропустили бы правильные многогранники, но наш перечень мог бы появиться в таком виде:
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Наиля:
Слова, еще слова и только слова: это все, что нам оставили самые знаменитые философы шестидесяти поколений.