Тетраэдр является выпуклым телом, и таким же является куб, и такими же являются другие многогранники в нашей коллекции (рис. 3. 1), и такими же являются все многогранники, которые мы можем из них получить с помощью усечения и «умеренной» пристройки крыш (пристройки достаточно ровных крыш к их различным граням). Во всяком случае, не существует опасности, что эти операции могли бы от выпуклого, или «сферообразного» многогранника привести к «баранкообразному» телу.
Замечая это, мы вводим уточнение, которое здесь очень нужно. Мы высказываем предположение, что для любого выпуклого многогранника между числами граней, вершин и ребер имеет место соотношение Г-\-В = Р-\- 2. (Можно было бы даже предпочесть ограничиться «сферообразными» многогранниками, но мы не хотим здесь останавливаться на определении значения этого термина. )
Это предположение имеет некоторые шансы быть верным. Тем не менее наша уверенность была поколеблена, и мы хотели бы найти какое-нибудь новое подкрепление для своего предложения. Мы не можем надеяться на большую помощь от дальнейших подтверждений. Кажется, что мы исчерпали наиболее очевидные источники. Однако мы можем еще надеяться на некоторую помощь от аналогии.
Существует ли какой-нибудь более простой аналогичный случай, который мог бы оказаться поучительным?
Многоугольники аналогичны многогранникам. Многоугольник есть часть плоскости, как многогранник — часть пространства. Многоугольник имеет некоторое число В вершин (вершин его углов) и некоторое число Р ребер (или сторон). Очевидно,
5 = Р.
Однако это соотношение, справедливое для выпуклых многоугольников, кажется слишком простым и проливает мало света на более сложное соотношение
Г+ £ = /->+ 2,
которое, как мы подозреваем, справедливо для выпуклых многогранников.
Если мы по-настоящему заинтересованы рассматриваемым вопросом, то мы, естественно, пытаемся подвести эти соотношения поближе друг к другу. Существует остроумный способ, позволяющий это сделать. Сначала нужно расположить рассматриваемые числа в естественном порядке. Многогранник трехмерен, его грани (многоугольники) двумерны, его ребра одномерны и его вершины (точки), конечно, нульмерны. Мы можем теперь переписать наши равенства, располагая величины в порядке возрастания размерности. Соотношение для многоугольников, написанное в виде
b-p+i = u
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :