гогранник с «крышей» имеет
Г + л-1, 5+1 и Р + л
частей соответствующего типа. Согласуется ли это с нашим предположением?
Если выполняется соотношение Р+5 = Р + 2, то, очевидно, соотношение
(Г + л-1) + (В+1) = (Р + я) + 2
также выполняется. Иными словами, если оказывается, что наше предположение подтверждается в случае первоначального многогранника, то оно должно подтверждаться и в случае нового многогранника с «крышей». Наше предположение выдерживает «пристройку крыши», и, таким образом, оно прошло действительно очень суровое испытание. Существует такое неисчерпаемое разнообразие многогранников, которые можно получить из уже исследованных с помощью повторных «пристроек крыши», и мы доказали, что наше предположение для них всех верно.
Кстати, последнее тело нашего рис. 3. 1, «усеченный куб» (IX), открывает путь для аналогичных рассмотрений. Вместо куба «усечем» любой многогранник, отсекая произвольно выбранную вершину. Пусть первоначальный многогранник имеет соответственно
Г, В и Р
граней, вершин и ребер и пусть л —число ребер, выходящих из выбранной нами вершины. Отсекая эту вершину, мы вводим одну новую грань (имеющую я сторон), л новых ребер, а также я новых вершин, но теряем одну вершину.
Подведем итог: новый, «усеченный* многогранник имеет соответственно
Г+1, 5 + я-1 и Р + я
граней, вершин и ребер. Теперь, из
Г+В=Р+2
следует
(Г+1) + (£ + л-1) = (Р + л) + 2,
т. е. наше предположение достаточно прочно для того, чтобы выдержать «усечение». Оно прошло еще одно суровое испытание.
Предыдущие замечания естественно рассматривать как очень сильный аргумент в пользу нашего предположения. Мы можем уловить в них даже нечто другое: первый намек на доказательство. Начиная с каких-либо простых многогранников, как тетраэдр или куб, для которых предположение выполняется, мы можем с помощью пристройки крыши и усечения получить огромное разнообразие других многогранников, для которых предположение также выполняется.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :