становится сравнимым с соотношением для многогранников, записанным в виде
В-Р + Г-1 = 1.
Единица в левой части равенства для многоугольников соответствует единственному имеющемуся двумерному элементу — внутренности многоугольника. Единица в левой части равенства для многогранников соответствует единственному имеющемуся трехмерному элементу — внутренности многогранника. Числа в левой части равенства, подсчитывающие соответственно элементы нульмерные, одномерные, двумерные и трехмерные, расположены в своем естественном порядке и имеют чередующиеся знаки. Правая часть равенства в обоих случаях одинакова; аналогия кажется полной. Поскольку первое равенство для многоугольников, очевидно, верно, то аналогия увеличивает нашу уверенность во втором равенстве для многогранников, предположение о котором мы сделали.
8. Разбиение пространства. Мы переходим теперь к другому примеру индуктивного исследования в пространственной геометрии. В своем предыдущем примере мы отправлялись от общего, до некоторой степени туманного замечания.
Нашей отправной точкой теперь будет конкретная, имеющая ясные очертания задача. Рассмотрим простую, но не слишком знакомую задачу пространственной геометрии: На сколько частей пространство делится пятью плоскостями?
На этот вопрос легко ответить, если пять данных плоскостей параллельны между собой; в этом случае пространство, очевидно, делится на 6 частей. Этот случай, однако, является слишком специальным. Если наши плоскости находятся в «общем положении», то никакие две из них не будут параллельны и будет иметься значительно больше частей, чем 6. Нашу задачу нужно сформулировать более точно, добавив существенный пункт: На сколько частей пространство делится пятью плоскостями при условии, что эти плоскости находятся в общем положении?
Идея «общего положения» интуитивно совершенно понятна; плоскости находятся в таком положении, когда они не связаны специальными соотношениями, когда они заданы независимо, выбраны наугад. Было бы нетрудно сделать этот термин совершенно точным с помощью формального определения, но мы этого не будем делать по двум причинам. Во-первых, изложение не должно быть слишком формальным. Во-вторых, оставляя понятие несколько неясным, мы ближе подходим к позиции натуралиста, который часто вынужден начинать с не совсем ясных понятий, но уточняет их по мере продвижения.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :