для трех призм и трех пирамид, изображенных на рис. 3. 1; но верно ли оно для всех призм и пирамид?
Если призма имеет и боковых граней, то она имеет всего я 4-2 грани, 2л вершин и Зга ребер. Пирамида с я боковыми гранями имеет всего п-\-\ грань, га+1 вершину и 2га ребер. Итак, мы можем добавить еще две строки к нашей таблице на стр. 58:
Многогранники Г В Р
Пирамида с п боковыми гранями . . . я+1 я+1 2л Призма с л боковыми гранями . . . . л+ 2 2л Зге
Наше предположение, утверждающее, что Г + В = Р + 2, оказалось верным не только еще для одного или двух многогранников, но для двух бесконечных серий многогранников.
4. Суровое испытание. Последнее замечание значительно увеличивает нашу уверенность в своем предположении, но, конечно, не доказывает его. Что же нам делать? Нужно ли продолжать испытывать дальнейшие частные случаи? Наше предположение, по-видимому, довольно хорошо выдерживает простые испытания. Поэтому нам следовало бы подвергнуть его какому-нибудь суровому, придирчивому испытанию, имеющему хорошие шансы его опровергнуть.
Взглянем снова на нашу коллекцию многогранников (рис. 3. 1). Там имеются призмы (I, II, III), пирамиды (IV, V, VI), правильные многогранники (I, V, VII); но мы уже исчерпывающим образом рассмотрели все эти типы тел. Что там есть еще? Рис. 3. 1 содержит также «башню» (VIII), которая получается, если к верхнему основанию куба пристроить «крышу». Здесь мы можем ощутить возможность обобщения. Возьмем вместо куба любой многогранник, выберем любую грань этого многогранника и пристроим к ней «крышу». Пусть первоначальный многогранник имел Г граней, В вершин и Р ребер и пусть выбранная его грань имеет га сторон. Мы пристраиваем к этой грани пирамиду с га боковыми гранями и таким образом получаем новый многогранник. Сколько граней, вершин и ребер имеет новый многогранник «с крышей»? При этой операции одна грань (выбранная) теряется, а п новых появляются (я боковых граней пирамиды), так что новый многогранник имеет Г—1-4-я граней. Все вершины многогранника принадлежат и новому многограннику, но одна вершина (вершина пирамиды) прибавляется, и, таким образом, новый многогранник имеет В-\-\ вершину. Все ребра старого многогранника принадлежат и новому, но прибавляется я ребер (боковые ребра пирамиды), и, таким образом, новый многогранник имеет Р4-га ребер.
Подведем итог. Первоначальный многогранник имел соответственно Г, В и Р граней, вершин и ребер, тогда как новый мно-
.
Комментарий:
Автор :
Автор Stalina:
Поговорите с человеком о нем, и он будет слушать вас часами.
Автор :