Обратимся снова к примеру 2 и его решению. Мы говорили о «подразделении поверхности шара на страны», не предлагая формального определения этого термина. Мы надеялись, что формула Эйлера останется справедливой, если Г, Р и В обозначают число стран, граничных линий и углов в таком подразделении. Однако мы снова полагались на примеры и грубое описание и не дали формального определения для Г, Р и В. В каком точном смысле следовало бы нам взять эти термины, чтобы сделать формулу Эйлера безукоризненно правильной? Вот наш вопрос.
Мы будем называть подразделение сферы (т. е. поверхности шара) с соответствующим истолкованием символов Г, Р и В «нормальным», если имеет место формула Эйлера, и «ненормальным», если эта формула не имеет места. Приведите примеры подразделений, которые могли бы помочь нам обнаружить какое-нибудь ясное и простое различие между «нормальными» и «ненормальными» случаями.
22. Полная поверхность шара состоит только из одной страны. Нормально ли это? (Мы подразумеваем: «нормально» с точки зрения формулы Эйлера. )
23. Поверхность шара делится точно на две страны, западное полушарие и восточное полушарие, разделенные большим кругом. Ненормально ли это?
24. Две параллели делят сферу на три страны. Нормально это или ненормально?
25. Три меридиана делят сферу на три страны. Нормально это или ненормально?
26. Назовите подразделение сферы т меридианами и р параллелями «подразделением (т, р)»; ср. пример 2 (1). Является ли крайний случай (0, р) нормальным или ненормальным?
27. Является ли крайний случай (т, 0) нормальным или ненормальным? (Ср. пример 26. )
28. Какие подразделения (т, р) (ср. пример 26) могут быть порождены процессом, описанным в примере 2? (Проектирование выпуклого многогранника на сферу, за которой следует непрерывная деформация границ, оставляющая неизменным число стран и число граничных линий вокруг каждой страны.
) Какие условия относительно,т и р характеризуют такие подразделения?
29. Что ненормально в примерах, в которых не имеет места формула Эйлера? Какие геометрические условия, делающие более точным смысл Г, В и Р, обеспечили бы выполнение формулы Эйлера?
30. Приведите еще примеры, иллюстрирующие ответ на пример 29.
31. Работа Декарта о многогранниках. Среди рукописей, оставленных Декартом, имелись короткие заметки об общей теории многогранников. Копия этих заметок (сделанная рукой Лейбница) была обнаружена и опубликована в 1860 г. , более чем через двести лет после смерти Декарта; см. Oeuvres vol. 10, p. 257—276. Эти заметки посвящены вопросу, тесно связанному с теоремой Эйлера: хотя заметки не устанавливают этой теоремы в явной форме, они содержат результаты, из которых она немедленно следует.
Рассмотрим вместе с Декартом выпуклый многогранник. Назовем любой угол любой грани этого многогранника поверхностным углом и пусть ^ а обозначает сумму всех поверхностных углов. Декарт вычисляет ^ а двумя различными способами, и теорема Эйлера немедленно получается из сравнения двух выражений.
Нижеследующие примеры дают читателю возможность восстановить некоторые из выводов Декарта. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: Гп обозначает число граней с л ребрами, Вп — число вершин, в которых оканчиваются п ребер, так что
г3+г4+г6+. . . =/\ в3+в4+в5+. . . =в.
Мы продолжаем обозначать символом Р число всех ребер многогранника.
.
Комментарий:
Автор Мадина:
Талант - дар, над которым властвует человек; гений - дар, властвующий над самим человеком.
Автор :
Автор Benedikta:
Исключить из наших наслаждений воображение - значит свести их на нет.