3 точки делят новую прямую на 4 отрезка. Каждый отрезок разрезает старую часть плоскости, делает две новых части из одной старой. Вместе 4 отрезка новой прямой создают 8 новых частей и упраздняют 4 старых части —число частей возрастает ровно на 4. Вот причина того, что число частей теперь ровно на четыре больше, чем оно было раньше:
7 + 4=11.
Этот путь получения числа 11 убедителен и ярко освещает рассматриваемую задачу. Мы можем усмотреть теперь основание для закономерности, которую мы наблюдали и на которой основывали свое предсказание этого числа 11. Мы начинаем подозревать, какое объяснение скрывается за фактами, и наша вера в то, что наблюдаемая закономерность всегда справедлива, чрезвычайно усилилась.
17. Индукция подсказывает дедукцию; частный случай подсказывает общее доказательство. Мы все время тщательно указывали на параллелизм между нашими рассуждениями и образом действий натуралиста. Мы начали с частной задачи, как натуралист может начать со ставящего в тупик наблюдения. Мы продвигались вперед с помощью пробных обобщений, отмечая доступные частные случаи, наблюдая поучительные аналогии. Мы попытались угадать некоторую закономерность и ошиблись, попытались снова и сделали это лучше. Нам удалось предложить общий закон, который подкреплялся всеми экспериментальными данными, бывшими в нашем распоряжении.
Мы подвергли испытанию еще один частный случай и нашли согласие с предполагаемым законом, авторитет которого выиграл от такого подтверждения. Наконец, мы заметили основание для этого общего закона, своего рода объяснение, и наша вера значительно усилилась. Исследование натуралиста может проходить в точности через те же самые фазы.
Существует, однако, место, где дороги математика и натуралиста резко расходятся. Наблюдение является высшим авторитетом для натуралиста, но не для математика. Подтверждение во многих хорошо выбранных примерах _ есть единственный способ подкрепления предполагаемого закона в естественных науках. Подтверждение во многих хорошо выбранных примерах может быть очень полезно в качестве поощрения, но никогда не может доказать предполагаемый закон в математических науках. Рассмотрим наш собственный конкретный случай. Исследование различных частных случаев и сравнение их привело нас к предположению об общем правиле, из которого следует, что решением нашей первоначально предложенной задачи является число 26. Достаточны ли все наши наблюдения и подтверждения для доказательства этого общего правила? Или могут ли они доказать частный результат, что решением нашей задачи действительно является 26? Ни в. малейшей степени. Для математика с жесткими
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :