32. Выразите число всех поверхностных углов тремя различными способами: соответственно через Г3, Г4, Гг„ . . . , через В3, В4, ВГ), . . . и через Р.
33. Вычислите а для пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додэкаэдра и икосаэдра.
34. Выразите V через Г3, Г4, Г5, . . .
35. Выразите У]« через Р и Г.
36. Пополнительные телесные углы, дополнительные сферические многоугольники. Мы называем телесным углом то, что чаще называется многогранным утлом.
Пусть два выпуклых телесных угла имеют одинаковое число граней и общую вершину, но не имеют никаких других общих точек. Каждой грани одного телесного угла соответствует ребро другого, и эта грань перпендикулярна соответствующему ребру. (Это отношение между двумя телесными углами взаимно: ребро е, линия пересечения двух соседних граней первого телесного угла, соответствует грани f второго телесного угла, если /' ограничена двумя ребрами, соответствующими двум вышеупомянутым граням. ) Два телесных угла,' находящихся в этом взаимном отношении, называются дополнительными телесными углами. (Это название не является обычным, но два обыкновенных дополнительных угла можно перевести в аналогичное взаимное положение. ) Каждый из двух дополнительных телесных углов называется дополнением другого.
Сфера радиуса 1, описанная из общей вершины двух дополнительных телесных углов, как из центра, пересекается ими по двум сферическим многоугольникам, и эти многоугольники называются дополнительными.
Рассмотрим два дополнительных сферических многоугольника. Пусть alt п. ,, ап обозначают стороны первого многоугольника, аь а„, а„ —его
углы, Л—его площадь, Я —его периметр и пусть а{, а'у . . . , а'п, а. ', а. '.
. . . . а. 'п>
А', Р' обозначают соответствующие части другого многоугольника. Тогда, если обозначения выбраны подходящим образом
а! +а1 = а. , + а. ' =
= °п+ <*,. = ■"*.
= ^ + а„==л;
это хорошо известно и легко проверить. Докажите, что
Г + Л' = Р' + Л=2л
[примите как известное, что площадь сферического треугольника с углами а, (5 и у равна «сферическому избытку» а + Р + у — л (радиус сферы равен 1)].
37. «Как в плоской фигуре все внешние углы вместе равны 4 прямым углам, так в пространственном теле все внешние телесные углы вместе равны 8 прямым углам». Попытайтесь интерпретировать это замечание, найденное в заметках Декарта, как теорему, которую вы можете доказать. (См. рис. 3. 7. )
38. Выразите через В.
39. Докажите теорему Эйлера.
40. Начальное замечание § 1 туманно, но может навести на мысль о некоторых точных утверждениях. Вот одно, не рассмотренное нами в § 1: «Если любая из трех величин Г, В и Р стремится к со, то и две другие величины должны стремиться к со». Докажите следующие неравенства, имеющие место
Р и с. 3. 7. Внешние углы много угольника.
.
Комментарий:
Автор Серапион:
Иной сходит в могилу ста лет, а умер едва родившись.
Автор :
Автор :