если мы вместе рассмотрим и Л и В, то могут возникнуть четыре различных случая:
А истинно, В истинно; А истинно, В ложно; А ложно, В истинно; А ложно, В ложно.
Если мы говорим, что А несовместно с В, то мы подразумеваем, что первый из этих четырех случаев (в северо-западном углу) исключен. Несовместность всегда взаимна. Следовательно,
«Л несовместно с 5» экв. «В несовместно с А».
(5) Мы говорим, что А имплицирует В (или В имплицируется А, или В следует из А, или В является следствием А и т. д. ), если А и не-В несовместны. Таким образом, понятие импликациих) характеризуется следующей эквивалентностью:
«Из А следует В» экв. «Л несовместно с не-В».
Знать, что из Л следует В, важно. Пусть в данный момент мы не Знаем, истинно Л или нет, и в том же состоянии неведения находимся и по отношению к В. Если, однако, в какой-то момент окажется, что А истинно, то, располагая знанием, что из Л следует В, мы немедленно будем знать, что не-В должно быть ложно и, таким образом, В должно быть истинно 2).
!) Если несовместность Лей понимать только в том смысле, что по крайней мере одно из двух высказываний А и В ложно, то слово «следует» («имплицирует») в этом абзаце в точности соответствует употребляемой обычно в математической логике импликации (которую нужно отличать от — более близких к аристотелеву пониманию «логического следствия» — разновидностей «строгой» или «сильной» импликации). Как явствует, однако, из остального контекста, авторское «следует» («имплицирует») не совпадает с обычной импликацией (которую мы здесь будем обозначать знаком :э). Ведь если В истинно, то А гз В («А имплицирует В») истинно, каково бы ни было Л, так что делать какие-нибудь заключения насчет А в случае одновременной истинносш В и А гз В заведомо нельзя. Между тем автор полагает, что в этом случае можно заключить, что А более правдоподобно (фундаментальная индуктивная схема). (Аналогичные замечания относятся к случаю, когда В ложно, а В :э А истинно, а также к авторскому пониманию несовместности, см.
, например, табл. I, стр 253. ) Аксиоматическое определение употребляемых автором понятий «следует», «более правдоподобно» и др. нетрудно получить, очевидно, обозревая рассматриваемые им схемы, но его интересы концентрируются на обосновании этих схем с помощью интерпретации их для правдоподобностей, о чем см. особенно гл. XV. Здесь заметим еще только, что в отличие от обычной импликации: А В, истинность или ложность которой определяется только истинностью или ложностью каждого из высказываний Л и В, в фундаментальной индуктивной схеме автора на самом деле предполагается, что А и В каким-то образом связаны между собой, например В без А «мало правдоподобно» и т. п. (см §§ 10, 13). В настоящее время существует большая литература по логике модальностей, строгой импликации и других связей, аналогичных рассматриваемым Пойа. — Прим. ред.
2) Опять в предположении верности закона исключенного третьего или, точнее, эквивалентности двойного отрицания А утверждению А. — Прим. ред.
.
Комментарий:
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор :
Автор :