веры в предположение Эйлера Э в соответствии со следующей схемой:
Из Э следует Ф _Ф правдоподобно
Э несколько правдоподобно
Вот еще одна схема правдоподобного умозаключения. Читателю следовало бы сравнить ее с фундаментальной индуктивной схемой.
10. Доказывая, что из Э следует Ф (в обозначениях предыдущего примера 9), Эйлер пользовался более глубоким результатом, который он доказал предварительно: простое число вида 4я. + 1 является суммой двух квадратов. (Оно было индуктивно рассмотрено в примере 4. 4. ). Принимая его на веру, докажите, что в самом деле из Э следует Ф.
П. После того как у Эйлера возникло его предположение, изложенное в § 3, он испытал его, вычисляя первые нули своего ряда для нескольких значений п. (Под «первым нулем» мы понимаем «нуль», абсолютная величина которого наименьшая. Если х есть первый нуль рассматриваемого ряда, то и —х есть нуль; и л и —х являются «первыми нулями». Поэтому х будет действительным в том и только в том случае, когда х2 положительно. ) Конечно, Эйлер должен был вычислять эти нули приближенно. Метод (метод Даниила Бернулли), которым он часто пользовался для подобной цели, дал такие последовательности приближенных значений для первого нуля х в случаях п = 1/2, 1/3, 1/4:
я = 1/2 я = 1/3 я = 1/4
Ахг ~ 3,000 9хг ~ 4,0000 16л:2 ~ 5,0000
3,281 4,2424 5,2232
3,291 4,2528 5,2302
3,304 4,2532 5,2304
Во всех трех случаях приближенные значения кажутся стремящимися к положительному пределу монотонно и довольно быстро.
Эйлер принял это за признак того, что первые нули действительны, и увидел в этом подтверждение своего предположения.
Постараемся выяснить общую схему эвристического умозаключения Эйлера. Пусть А обозначает его предположение, объясненное в § 3, относительно действительности нулей его ряда. Пусть В обозначает тот факт, что для я = 1/2 первый нуль действителен. Очевидно, из А следует В. Так вот, Эйлер не доказал В, он только сделал В более правдоподобным. Таким образом, мы имеем здесь следующую схему правдоподобного умозаключения:
Из А следует В
В более правдоподобно_
А несколько более правдоподобно
Вторая посылка слабее, чем вторая посылка фундаментальной индуктивной схемы. Слово «несколько» поставлено, чтобы подчеркнуть, что и заключение слабее, чем в фундаментальной индуктивной схеме.
12. Современный математик может вывести из числовых данных предыдущего примера 11 эвристическое заключение более строгое, чем вывел сам Эйлер. Можно показать, что если ряд Эйлера имеет только действительные корни, то последовательные приближенные значения, полученные по методу Даниила Бернулли, непременно образуют возрастающую последовательность х). Пусть А обозначает то же предположение, что и в предыдущем примере 11, ко В пусть теперь означает другое утверждение, а именно следующее: «Для я = 1/2 первые четыре приближения, полученные по методу Даниила Бернулли, образуют возрастающую последовательность, и это же имеет место для я = 1/3 и п = 1/4».
Ч См. статью автора: Remarks on power series, Acta Scientiarum Mathema-ticarum, 12B (1950), 199—203.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Linda:
Полноте, люди, сквернить несказанными яствами тело.
Автор :