Несколько схем

р = а 4- Ъ 4- с,

= аЬ 4- ас + be, г = abc.

(В обычной терминологии р, q и г — «элементарные симметрические функции от а, Ь и с, a s_n — «сумма одинаковых степеней». ) Очевидно, р = s__. Утверждается, что Для произвольных значений а, b и с

2s J' — 5s;s₃4-3s₅ ^<7~ 5 (si—s₃) '

— 5s fo₃ — 5sj 4- 9s_ts₅ ^r_ 15(s{-s,)

если только знаменатель не равен нулю. Проверьте эти формулы в частном случае а= 1, 6=2, с=3 и еще в трех случаях, указанных в таблице:

Случай abc

(1) 12 3

(2) 1 2 —3

(3) 12 0

(4) 1 2 —2

Придумайте дальнейшие проверки. В частности, попытайтесь обобщить случаи (2), (3) и (4).

7. Пусть А, В_и В₂, В₃ и fi₄ имеют значение, приданное им в § 2. Дает ли подтверждение В₄, произведенное после подтверждения B_lt В₂ и В₃, добавочные индуктивные доводы в пользу Л?

8. Вспомним «Наиболее Необычайный Закон» Эйлера и значение сокращений Т, С_ъ С₂, С₃, . . . , Cf, Cf, Cf, . . . , объясненное в § 6. 3. Эйлер индуктивно подкрепил теорему Т, когда он все еще не был в состоянии ее доказать, подтвердив ее следствия С\, С₃, С₃, . . . , С₃₀- (Он, возможно, шел даже дальше.
) Затем он открыл, что и Cf, Cf, С%, . . . являются следствиями теоремы Т, и подтвердил Cf, Cf, . . . , Cf„, Cf₀₁, C*₀₁. Благодаря этим новым подтверждениям уверенность Эйлера, по-видимому, значительно усилилась; но можно ли оправдать это усиление? [Здесь нужно обратить более серьезное, чем в примере 2, внимание на детали. ]

9. Возвратимся к предположению Эйлера, рассмотренному в § 1; для краткости назовем его «предположением Э». Запишем кратко значение этого сокращения:

Э: 8п 4- 3 = х³ 4- 2р.

Идея, которая привела Эйлера к его предположению Э, заслуживает упоминания. Эйлер посвятил много труда тем знаменитым предположениям теории чисел, которые Ферма высказал без доказательства. Одно из них (мы называем его «предположением Ф») говорит, что любое целое число является суммой трех треугольных чисел. Запишем кратко значение этого сокращения:

^ф- 2 ⁺ 2 + 2 *

Эйлер подметил, что если бы его предположение Э было верно, то из него легко вытекало бы предположение Ферма Ф. Иными словами, Эйлер убедился, что из Э следует Ф. (Детали см. в следующем примере 10. ) Будучи полон решимости доказать предположение Ферма Ф, Эйлер, естественно, желал, чтобы его предположение Э оказалось верным. Было ли это только желанием? Я так не думаю; рассмотренные связи дают какое-то слабое, но не неразумное основание для

так что

.

 

Комментарий:

Автор :

Автор :

Автор Владлена:
Человек по природе добр.

Ваше имя:

Комментарий: