Тогда известно, что имеют место обе посылки фундаментальной индуктивной схемы:
Из А следует В В истинно
и получающееся в результате эвристическое заключение сильнее. К предыдущему можно прибавить два замечания:
(1) Эйлер не формулировал только что указанного свойства метода Даниила Бернулли и, конечно, не доказал его. Однако очень вероятно, что, обладая громадным опытом работы по этому методу, он имел какого-то рода индуктивное знание. Так, Эйлер, хотя он и не вывел заключения современного математика, обладал им в менее ясной форме. И, по-видимому, он имел в своем богатом математическом фоне 1) и другие указания, которые он не мог бы полностью сформулировать и которые мы не могли бы объяснить и сегодня.
(2) Числовые данные, указанные в примере 11, привели автора к подозрению об общей теореме, доказанной в статье, цитированной на предыдущей странице. Это-— маленький, но конкретный пример пользы индуктивного метода в математическом исследовании.
13. В гл. IV мы индуктивно исследовали сумму четырех нечетных квадратов; см. §§ 4. 3. —4. 6, табл. 1. Позднее мы брались за аналогичные задачи, касающиеся четырех произвольных квадратов и восьми квадратов; см. примеры 4. 10 — 4. 23 и табл. II и III. Первое исследование, несомненно, помогло нам распознать закон в последующих случаях. Должна ли также усилиться наша вера в результат последнего исследования из-за результата первого?
14. Индуктивное умозаключение по бесплодным усилиям. Построить с помощью циркуля и линейки сторону квадрата, равную площади круга данного радиуса. Это — строгая формулировка известной задачи о квадратуре круга, придуманной греками.
Она не была забыта в средние века, хотя мы не можем верить, что многие понимали тогда ее строгую формулировку; Данте ссылается на нее в теологической кульминации Божественной Комедии, в конце заключительной песни. Этой задаче было около двух тысяч лет, когда Французская академия приняла решение, что рукописи, имеющие целью найти квадратуру круга, не будут' проверяться. Не проявила ли Академия узость взглядов? Я так не думаю; после бесплодных усилий тысяч людей на протяжении тысячелетий были некоторые основания подозревать, что задача неразрешима.
Вас тянет бросить задачу, не поддающуюся вашим неоднократным усилиям. Если вы упорны или глубоко заинтересованы задачей, то вы прекратите работу только после многих и больших усилий. Если вы не любите больших усилий или не серьезно заинтересованы, то вы прекратите работу после нескольких поверхностных попыток. Но в любом случае имеется своего рода индуктивное умозаключение. Вот рассматриваемое предположение:
- А. Справиться с этой задачей невозможно. Вы наблюдаете:
В. Даже Я не могу справиться с этой задачей. Это, само по себе, в самом деле очень невероятно. Однако, несомненно,
из А следует В,
и, таким образом, ваше наблюдение относительно В по фундаментальной индуктивной схеме делает А более правдоподобным.
Невозможность квадратуры круга, строго сформулированная, была доказана в 1882 г. Линдеманом, после основной работы Эрмита. Существуют другие сходные задачи, ведущие начало от греков (трисекция угла и удвоение куба), неразрешимость которых после накопленной очевидности бесплодных усилий была в конце концов доказана. После бесплодных усилий построить «perpetuum mobile* физики сформулировали «принцип невозможности вечного движения», и этот принцип оказался замечательно плодотворным.
Ч См. примечание на стр. 212. — Прим. перев.
.
Комментарий:
Автор Linda:
Полноте, люди, сквернить несказанными яствами тело.
Автор :
Автор :