С тех пор как мы рассматривали эти таблицы в §§ 10. 1 и 10. 4, положение изменилось. За это время мы познакомились с доказательством изопериметрической теоремы (§§ 10. 6—10. 8, примеры 10. 1 — 10. 15). Геометрическое минимальное свойство круга, индуктивно подкрепленное табл. II, было доказано. Естественно ожидать, что аналогичное физическое минимальное свойство круга, индуктивно подкрепленное табл. III, также окажется верным. Ожидая это, мы следуем важной схеме правдоподобного умозаключения:
А аналогично В В истинно
А более правдоподобно
Предположение становится более правдоподобным, когда оказывается истинным аналогичное предположение.
Применение этой схемы к рассмотренной ситуации кажется разумным. Однако в этой ситуации существуют и другие многообещающие указания.
5. Углубление аналогии. Таблицы II и III, помещенные рядом, по-видимому, наводят на дальнейшие размышления. Десять рассматриваемых фигур не стоят в обеих таблицах точно в одной и той же последовательности.
В этой последовательности есть что-то своеобразное. Расположение фигур в табл. II кажется не слишком отличным от расположения в табл. Ш, но не это главное. Таблицы содержат различные виды фигур: прямоугольники, треугольники, секторы. В каком же порядке расположены фигуры одного и того же вида? Как выглядела бы более короткая таблица, в которой были бы выписаны только фигуры одного вида? Таблицы содержат несколько правильных фигур: равносторонний треугольник, квадрат и, не забудем, круг. В каком порядке расположены правильные фигуры? Не могли бы мы как-нибудь сравнить фигуры различных видов, например треугольники и секторы? Не могли ли бы мы расширить индуктивную базу, добавив к нашим таблицам новые фигуры? (В этом мы сильно ограничены. Не трудно вычислять площади й периметры, но трудно иметь дело с основными частотами, и их явное выражение известно лишь в очень немногих случаях. ) В конечном счете мы получаем табл. IV (см. стр. 238).
Таблица IV выявляет между нашими двумя величинами, зависящими от формы переменной плоской фигуры — периметром и основной частотой,— замечательный параллелизм. (Не следует забывать, что площадь переменной фигуры постоянна, равна 1. ) Если мы знаем периметр, то мы никоим образом не в состоянии вычислить основную частоту, и наоборот. Однако, судя по табл. IV, мы должны были бы подумать, что во многих простых случаях эти величины меняются в одном и том же направлении.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.
Автор :